Yazdırılabilir görünüm
1.Soru:
8 elemanlı bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümelerin sayısını bulunuz.
2.soru:
Bir öğrenciden 8 soruluk bir sınavda 5 soruyu cevaplanması isteniyor. ilk 3 sorudan en az ikisinin cevaplanması zorunluluğu olduğuna göre bu öğrenci bu soruları kaç farklı şekilde cevaplayabilir?
1) C(8,3)+C(8,4)+C(8,5)+C(8,6)+C(8,7)+C(8,8) den bulabiliriz.
yada 28-C(8,0)-C(8,1)-C(8,2) den de bulabiliriz.
256-1-8-28=219 olur.
2) ilk üç sorudan 2 tane seçtiği durum ve 3 tane seçtiği durumu ayrı ayrı bulmamız gerekir.
ilk 3 sorudan 2 soru seçtiği durumda; (kalan 3 soruyu son 5 sorudan seçmeli)
C(3,2).C(5,3)=3.10=30 olur.
ilk 3 sordan 3 soru seçtiği durumda; (kalan 2 soruyu son 5 sorudan seçmeli)
C(3,3).(5,2)=1.10=10 olduğundan;
soruları 30+10=40 farklı şekilde çözebilir.
ilk soruda 8in 3lüsü 8in 4lüsü 8in 5lisi 8in 6lısı...... 8in 8lisi seklindde yazıyorz
2. soruda (3,2).(5,3)+(3,3).(5,2) olucak heralde
paradoks hocam size bir sorum olucak ilk soruda neden çarpı değilde toplama yaptık ???
1. sorusuda;
örneğin C(8,2) şu demektir. 8 elemanlı bir kümenin içinden 2 eleman seçip bu ikilleri alt küme halinde yazıyoruz.
yani 8 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı kaç tane alt küme oluşturabileceğimizi buluyoruz.
8in 2lisini kaç farklı şekilde seçebiliyorsak; o kadar farklı alt küme oluşturabiliriz.
buna göre;
C(8,3)=56----- 3 elemanlı alt küme sayısı
C(8,4)=70 ----- 4 elemanlı alt küme sayısı
.
.
.
C(8,8)=1 ------ 8 elamanlı alt küme sayısı (1 tanedir oda kendisi)
sonuçta çarpmıyacağız çünkü toplamda kaç tane alt küme oluşturabileceğimiz sorulmuş
bazen iki sonuç bulup bu sonuçları çarpıyoruz, bazende neden topluyoruz, gibi bir sıkıntı yaşıyorsun sanırım.
istersen bu iki durumu sorudan bağımsız olarak genellemeye çalışarak yorumlayayım
hocam ben bu tür sorularda çarpım olmayacağını çok fazla sayı varsa çarptığımızda çok yüksek bir sayı çıkçağını düşündüğüm için topluyorum :D bir türlü mantığını anlamış değilim :)
Konuya pek hakim değilim ama çarpma işlemi aynı gidiş yolu üzerinde gerçekleşiyor sanırım eğer yöntem değiştirirsek topluyoruz ama aynı yöntem içindeki işlemlerde çarpıyoruz sonra parçaları birleştirir gibi topluyoruz sanırım yanlış mı düşünüyorum :confused: bu konuya biran önce geçmeyi istiyorum ama trigonometri de bitmedi gitti :)
güzel mantık :) haklısıngizemli95'den alıntı:hocam ben bu tür sorularda çarpım olmayacağını çok fazla sayı varsa çarptığımızda çok yüksek bir sayı çıkçağını düşündüğüm için topluyorum :D bir türlü mantığını anlamış değilim :)
ama konun özünü öğrenmeni tavsiye ederim, bu soruda olmasada başka sorularda vakit kaybetmene ve gereksiz yere uzun uzun düşünüp vakit kaybetmene sebep olur
birden fazla seçim yapıp tek bir durum oluşturuyorsak;
örneğin;
A dan B ye 3 yol, B den C ye 4 yol var, A dan C ye kaç şekilde gidilebilir.
burda çarpım yaparız. çünkü A dan C ye gidiyoruz. ama bu iş için iki ayrı yerde seçim yapıyoruz.
A noktasında 3 yoldan 1 ini seçiyoruz. (birinci seçim)
B noktasında 4 yoldan 1 ini seçiyoruz. (ikinci seçim)
hayatın bir çok alanında 1den fazla seçim yapıp birşeyler yapmaya çalışır.
başka örnek; mağazaya girip 1 gömlek ve bir pantolon alıp çıkmak istiyoruz. (yine iki ayrı seçim yaparız) ama sonuçta yapmak istediğimiz şey belli altlı üstlü giyinip çıkmak. yine çarparız.
toplam durumu içinde örnek vereyim;
bu durumlarda genel olarak tek seçim yapma hakkımız var (diğerinden tek farkı bu) tek seçim yapıyoruz ama
bize bazı şartlar koşulur.
örnekle açıklayayım; yine mağazaya girdik, pantolon ve gömlek fiyatlarına baktık, ve gördük ki ikisini alacak kadar paramız yok, (soruda bu hikaye kısmını değiştirip durular)
sonuçta ya pantolon yada gömlekten birini seçmemiz gerekir (tek seçim yapacağız) şimdi toplarız.
örneğin mağazada 3 çeşit pantolon ve 4 çeşit gömlek var.
3+4=7 farklı seçim yaparız.
hatta iki durumuda içeren bir örnek vereyim hem toplam hem çarpım yapılan; burdan daha iyi anlayacağını düşünüyorum;
klasik bir soru tipi vardır. şekil eklemiyorum zaten anımsayacaksındır.
bir birine paralel 2 doğru düşün; 1 doğru üzerinde 5, 2. doğru üzerinde 6 nokta olsun; soru şu, kaç farklı üçgen oluşturulabilir?
bu soruda hem çarpma hem toplama yapacağız (nerede toplama nerede çarpma yapacağımızı anlamak için güzel bir soru)
Çözüm:
bu noktalarlar ile iki tür üçgen oluşur. (bu iki türü yine şekille göstersek daha iyi olurdu, neyse)
1. tür üçgenlerin tepe noktası yukarda tabanı aşağıda (yani 1 nokta yukardan 2 nokta aşağıdan seçmemiz gerekir.)
2. tür üçgenlerin tepe noktası aşağıda tabanı yukarıda (yani 2 nokta yukarıdan 1 nokta aşağıdan seçmemiz gerekir)
sonuçta amacımız üçgen oluşturmak; ama herhangi bir üçgen oluşturmak için iki farklı seçim yapıyoruz. (tepe noktası için 1 nokta seçimi ve taban için iki nokta seçimi) burda çarpım yaparız.
yalnız sadece bir tür üçgen yok iki farklı tür üçgen var;
önce tepe noktası yukarda olan üçgen sayılarını buluruz. atıyorum 100 tane böyle üçgen bulduk.
sonra tepe noktası aşağı doğru olan üçgen sayılarını buluruz. diyelim ki bu şekilde de 200 üçgen oluşabilsin.
burada 100 ile 200 i toplarız yani toplamda 300 farklı üçgen oluşur deriz.
kısacası;
üçgen sayısı= tepe noktası aşağıda olan üçgen sayısı + tepe noktası yukarıda olan üçgen sayısı
üçgen sayısı=C(6,1).C(5,2)+C(6,2).C(5,1) deriz
çok uzun oldu umarım daha fazla kafanı karıştırmamış olurum:)
birbirine alternatif durumlar toplanır , birbirini çeşitlendiren durumlar çarpılır
örneğin pantolon , şort ve gömlek gibi giysi seçeneklerinden bazıları giyilip bir yere gidilecekse
pantolon ve şort birbirini çeşitlendirmez sadece birbirlerine alternatif oluştururlar halbuki gömlek giydiğinizde hangi pantolonu veya şortu giymiş olursanız olun farklı bir durum elde etmiş yani sonucu çeşitlendirmiş olursunuz
bunun sonucu olarak oluşan farklı durumların sayısı
= ( pantolon sayısı + şort sayısı ) x (gömlek sayısı) olur
bu soruya bakarsak da bizden küme oluşturmamız isteniyor oluşturduğumuz kümeye 2 elemanlı olanlar ve 3 elemanlı olanlar çeşitlendirme açısından birbirinin alternatifi olarak giriyorlar. yani küme 3 elemanlıysa artık 2 elemanlı olamıyor bu durumlar birbirinden bağımsız olarak hesaplanır ve toplanır.
yani 1. soruda yine tek seçim yapma hakkımız var. seçim hakkımız şu: 8 eleman içinden bazı elemanları seçip alt küme oluşturacağız.
yalnız bu seçimimiz için bize şart koşulmuş; 3 tanede seçebilirsin, 4 tanede seçebilirsin, .... 8 tanede seçebilirsin.
bu yüzden her bir durumu ayrı ayrı bulup sonra toplamda kaç farklı durum oluştuğunu bulmak için topluyoruz.
C(8,3)+C(8,4)+.... yaparız
yukarda yazdığıma benzer bir kriter daha ortaya koyabiliriz
aynı anda gerçekleşebilen şeyler çarpılır , aynı anda gerçekleşmeyen şeyler ise toplanır.
bu da güzel bir mantık. yani hem 3 elamanlı hem 4 elemalı kümeyi aynı anda oluşturamayız. (ya 4 elemanlı yada 3 elemenlı küme oluşturabiliriz) bir birinden bağımsız durumlar olduğundan toplanırgereksizyorumcu'den alıntı:yukarda yazdığıma benzer bir kriter daha ortaya koyabiliriz
aynı anda gerçekleşebilen şeyler çarpılır , aynı anda gerçekleşmeyen şeyler ise toplanır.
hocam sizleri çok uğraştırdım çok teşekkür ederim ama anladm galiba :)