∛x−

6

∛x

=1 denkleminin çözüm kümesi?

(soru 2.derece denklemler kategorisine ilişkindir.)

∛x=t denirse

t-(6/t)=1 , payda eşitlenip düzenlenirse
t²-6=t
t²-t-6=0
(t-3).(t+2)=0 → t=3 veya t=-2
t=∛x demiştik öyleyse x=27 veya x=-8

yalnız şimdi wolframa soruyu çözdürdüm ve nden -8 kökünü bulamadığını anlamaya çalışıyorum , acaba yanlış bişey mi yaptım bilmiyorum.
x=-8 olunca tanımsız olan biyerler görebilen var mı?

Hocam buradaki hata şöyle sanırım. Köklerde hiç ama hiç bir zaman negatif sonuç çıkmıyor. Soru ister kompleks sayılarda tanımlı olsun sonuç yine negatif çıkmaz.

∛x= -2 denklemi, -2 yi vermesi için beklenen ∛-8 ifadesi reel sayılarda tanımlı değil zaten.
Kompleks sayılarda ise -2 yi vermesi beklenen ∛-8 ifade yine negatif çıkmaz. ∛-8= ∛i².8=2.i^2/3 çıkar ancak. Yani
t=-2 bir kök olamaz

Çift dereceden bir kökte bir eksi bir artı çıkıyor gibi aklınıza geldi sanırım. Bir eksi kök bir artı kök sadece kompleks sayılarda yazabiliyoruz.
Reel sayılarda, "mutlak değer kök" |a| olarak çıkıyor sadece. Ama buradaki kavram karmaşını ayrıntılı bir yazı ile gidermek gerekir.

yani şimdi ∛(-8) tanımsız mı?

Hocam, ∛x i fonksiyon olarak düşünürsek tanımlı yapabiliriz. Ama "kök alma" olarak düşündüğümüzde tanımsız olması gerekir. Benimde kafam karışık orası ayrı.

∛x wolfram

benim bildiğim
reel sayılarda -8 in küpkökü -2 dir
complex sayılarda da -2 , 1+i√3 ve 1-i√3 olmak üzere 3 tanedir. yani her halükarda -8 in küpköklerinden biri -2 dir tabi complex düzlem devredeyse negatif sayıların küpkökünü göstermeyebiliriz çünkü fonksiyon olmaktan çıkar 3 değişik değere de gidebiliyor

Daha doğru söylemek gerekirse, ∛-8 yukardaki linkteki grafikte tanımlı ancak -2 çıkmıyor sonuç. onun için t=-2 ama x=-8 değil.

f(x)=0'ı sağlayan x leri bulma işine "fonksiyonun kökleri bulma" denmesi ile √, ∛ gibi "kök alma" işlemlerinin karışmış olmasında sorun birazda sanki. Kök (Matematik)

iyi de -2 , -8 in köklerinden biridir :)
3 tane kökü vardır yukarıda yazdığım gibi biri de budur yani bilemiyorum bu tür nüans farkları devreye girince işin içinden çıkamıyorum

Hocam bu reel sayılardan kompleks sayılara geçişten kaynaklanıyor olmasın. Aslında kökler -2+i.0, 1+i√3 ve 1-i√3 gibi yazılmalı.
Yani reel sayılarda kök içine negatif almamız gerektiği ile kompleks sayılarda içine negatif alabildiğimiz noktasına dikkat etmek gerekiyor sanırım. Ayrıca soruda x hakkında bilgi verilmeli.

ortada tanımsal bir durum var , ben hemen çamura yatıp tanımda ne deniyosa cevap ona göre sadece 27 veya 27 ve -8 olur diyorum :)

Benim bildiğim kadarıyla küpkök alma algoritması işe önce karekök alarak başlıyor ve negatif sayının karekökünün tanımsız olmasından dolayı sonucu veremiyor. Aksi halde (-2)^3 işlemini de yapamamalıydı ve (admin hocanın söylediği gibi) grafikte de tanımsız gösterirdi. Zaten (-8)^(1/3) için 2*(-1^(1/3)) sonucunu veriyor. Yani negatif sayının küpkökünü alamıyor.

Çift dereceden köklerin içindeki x, mutlak değer içine çıkar, tek dereceden kökler içindeki x, aynen çıkar.
Negatif sayının küpkökü olmaz diye bir şey olur mu?
²ⁿ√x²ⁿ=|x|
²ⁿ⁺¹√x²ⁿ⁺¹=x
√4=2
³√-8=-2

Alıntı:

---

MatematikciFM'den alıntı

Çift dereceden köklerin içindeki x, mutlak değer içine çıkar, tek dereceden kökler içindeki x, aynen çıkar.
Negatif sayının küpkökü olmaz diye bir şey olur mu?
²ⁿ√x²ⁿ=|x|
²ⁿ⁺¹√x²ⁿ⁺¹=x
√4=2
³√-8=-2

---

hocam ben de sizin gibi düşünüyorum ama wolfram böyle düşünmeyince insan ister istemez açıkta kalıyor

Hocam, ∛-8 i bulmak , x³=-8 denklemini çözmektir (x=-2) ancak wolframda x³=-8 denklemini çözerken bulduğu -2 yi, ∛(-8) işleminde bulmaması "kök alma" tanımında farklı anlayışlar olabileceğini insanın aklına getiriyor. Sıfırı bazı profların doğal sayı kabul edip bazılarının etmediği gibi örneğin.

Dediğime kanıt olabilecek bir şeyler buldum. "Farklı kök anlayışı" dediğime (belkide doğrusu)

Küp Kök Wikipedia sayfasına baktığımızda (türkçesi yok) verdiği örneklerde sadece küpkök içinde i'li sayı örneğinde negatif kullanmış. Diğer örneklerin hepsinde küpkök içinde pozitif sayılar var.

Daha önemlisi sayfanın hemen sağında ∛x in grafiğinde x≥0 şartını eklemiş. Buradan şu anlamı çıkarıyoruz. x≥0 iken reel sayılarda tanımlı, x<0 iken kompleks sayılarda tanımlı (bakınız1, bakınız2).

y=∛x fonksiyonunda f(-8)=∛-8 sadece kompleks sayılarda tanımlı kabul etmiş sayılıyor Wiki ve wolfram.

Alıntı:

---

Admin'den alıntı

Dediğime kanıt olabilecek bir şeyler buldum. "Farklı kök anlayışı" dediğime (belkide doğrusu)

Küp Kök Wikipedia sayfasına baktığımızda (türkçesi yok) verdiği örneklerde sadece küpkök içinde i'li sayı örneğinde negatif kullanmış. Diğer örneklerin hepsinde küpkök içinde pozitif sayılar var.

Daha önemlisi sayfanın hemen sağında ∛x in grafiğinde x≥0 şartını eklemiş. Buradan şu anlamı çıkarıyoruz. x≥0 iken reel sayılarda tanımlı, x<0 iken kompleks sayılarda tanımlı (bakınız1, bakınız2).

y=∛x fonksiyonunda f(-8)=∛-8 sadece kompleks sayılarda tanımlı kabul etmiş sayılıyor Wiki ve wolfram.

---

Hocam, matematikte bir şeyin (birbirini yalanlayan) iki farklı tanımı olabilir mi? Sonuca ulaşılamamasının tek nedeni algoritma sorunudur.

Esas soru

x^3-8=(x+2)(x^2-2x+4)=0

denklemi x=-2 için sağlanıyor mu sağlanmıyor mu, sorusudur. Aksini iddia etmek sağlanmadığını söylemektir.

şimdi orayı okudum da sanki matematikçifm hocamızla benim dediğimi destekliyor

https://img145.imageshack.us/img145/...ootdefwiki.jpg

tanım:
x in küpkökü y³=x eşitliğini sağlayan y sayılarıdır

reel sayılar
x ve y reelse tek bir çözüm bulunur ve bir reel sayının küpkökü bazen yukarıdaki eşitlikle tanımlanır. eğer yukarıdaki tanım kullanılırsa negatif bir sayının küpkökü de negatiftir. x sayısının esas küp kökü de
∛x=x^1/3 şeklinde gösterilir.

eğer x ve y complex olabiliyorsa , 3 tane çözüm vardır (tabi x sıfır değilse) ve x in 3 tane küp kökü vardır. Bir reel sayının bir reel küpkökünün yanısıra birbirinin eşleniği olan 2 tane daha complex küpkökü vardır. Bu bazı ilginç sonuçlara yol açar;
Bu nedenle 1 sayısının küpkökleri
∛1=1
∛1=(-1/2)+(1/2).i√3
∛1=(-1/2)-(1/2).i√3

bu son iki kök tüm küpköklerin arasında bir ilişki kurar. reel ya da complex bir sayının bir küpkökü elimizdeyken diğer 2 küpkökünü de bu sayıyı 1 in son iki küpköküyle çarparak bulabiliriz....


şeklinde gidiyor yazı. ben buradan her reel sayı için küpkökün tanımlı olduğunu anlıyorum


aşağıda ise complex tanım verilmiş bir sayının yarıçapının küpkökü alınır ve açısı da 3 e bölünür diyor. bu tanımı kullanacaksak negatif bir sayının küpkökü complex bir sayı olur hatta ∛-8 i direkt örnek vermiş ve bunun değeri -2 değil 1+i√3 tür demiş.

ama bence bu bizim düşündüğümüz gibi olmasını gerektirir çünkü tanım complexler üstünde yapılırsa ancak bu uygulanabilir sorunun reel sayılarda sorulduğunu düşünebiliriz sanırım bu durumda ilk tanıma göre ∛-8=-2 olmalıdır diye düşünüyorum yani en azından ben wikiden bunu anladım

Alıntı:

---

ömer_hoca'den alıntı

Hocam, matematikte bir şeyin (birbirini yalanlayan) iki farklı tanımı olabilir mi? Sonuca ulaşılamamasının tek nedeni algoritma sorunudur.

Esas soru

x^3-8=(x+2)(x^2-2x+4)=0

denklemi x=-2 için sağlanıyor mu sağlanmıyor mu, sorusudur. Aksini iddia etmek sağlanmadığını söylemektir.

---

Hocam

Alıntı:

---

∛-8 i bulmak , x³=-8 denklemini çözmektir (x=-2)

---

dediğim gibi. o noktada bi şüphe yok gibi görünüyor. Ama işin içine kompleks sayılar giriyor. Orada kafa kurcalayan bir nokta var.

f(x)=∛x fonksiyonun grafiği reel sayılarda alttakidir.

https://img141.imageshack.us/img141/2328/matimg141.png

Bu grafikte f(-8)=∛-8=-2 tek değer vardır.

Ancak kompleks sayılarda x=-8 için fonksiyon 3 farklı değere gitmektedir.
f(-8)=-2 ve
f(-8)=1-i.√3 ve
f(-8)=1+i.√3


İşte o yüzden wikipedia küp kök sayfasında ki grafik için sadece x≥0 için çizim vermiş. x<0 için fonksiyon olma şartını sağlamıyor küp kök fonksiyonu.


Wolfram bu yüzden f(x)=∛x grafiği için negatif değer kümesini göstermemiş.

https://img821.imageshack.us/img821/...0i6ieei10e.gif


Bu yüzden wolfram x<0 , y=∛x grafiği için boş çizim veriyor.
https://img856.imageshack.us/img856/...i68cd3258h.gif



f(x)=∜x veya f(x)=√x fonksiyonları ∜(-16) veya √(-4) örnekleri için tek değere gitmektedir. Onun için karekök fonksiyonu veya 4. dereceden kök fonksiyonu negatifler için bile olsa fonksiyon olma şartını sağlıyor.

Benim kafamı kurcalayan noktalar bunlar.

Hocam, bana olan güvensizliğinizden ziyade mathematica'ya olan aşırı güveninizden ötürü size pek inandırıcı gelmese de :) mathematica'nın oldukça fazla algoritma hatası vardır ve özellikle yabancı üniversite sitelerinde bu oldukça fazla dile getirilir. Buradaki mesele de mathematica'nın negatif sayıların küpköklerini hesaplamayı bilmemesinden (inanılmaz ama gerçek) kaynaklanmaktadır. :)

Konuyla ilgili linke bakın isterseniz:

Mathematica Command Glossary

Orada tarif edilen cuberoot fonksiyonunu tanımlarsanız istediğiniz sonuçları alırsınız. Nedenleri de ilgili makalede açıklanmıştır.

Gelelim sıradan hesap makinelerinin (windows calculator gibi) -8'in küpkökünü bulamamasına. Bu tür hesap makineleri verdiğiniz wikipedia linkinde de belirtildiği gibi, x^(1/3) değerini x^(1/2) değerinden yola çıkarak hesaplarlar. Negatif sayıların karekökü tanımsız olduğu içindir ki bu yöntem yürümez ve verilen değeri geçersiz zannederler. Fakat GraphCalc ve benzeri hesap makineleri sonucu çok rahatlıkla bulabilirler.

Ayrıca, örneğin f(x)=x^(1/2) bağıntısının bir fonksiyon olmaması, x^(1/2)-a=0 denkleminin çözümsüz olduğu anlamına gelmez ki x^(1/3) ifadesinin fonksiyon olup olmadığını tartışmaya gerek olsun diye düşünüyorum.

Not: Aramızda var olduğunu farzettiğim samimiyete dayanarak biraz nükteli konuştum, kabalık olarak algılamazsınız diye umuyorum.

:)
Wolframın Alphanın hataları olduğunu ben biliyorum. Forumuna üyeyimdir. Bİlgi eksikliğimiden dolayı bu kompleks-reel işi biraz kafamı karıştırıyor.

Cuberoot dediğiniz sayfada programlama dili ile anlatıldığı için pek birşey anlayamadım :(

Sakın öğretmek gibi algılamayın (o haddime düşmez) hocam sadece bildiğim kadarını ifade ediyorum. x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)=0 denkleminin cebrin temel teoremine göre üç kökü olması gerekir ve bunlardan biri (x-2)=0 için reel, diğer ikisi de (x^2-2x+4)=0 için, Delta<0 olduğundan dolayı, sanaldır. Ama denklemin reel kökü vardır. Fakat Mathematica bunu bulamadığı için o sitedekiler (ki tek site de o değil) bu işi yapacak bir fonksiyon tanımlanması gerektiğini söylüyorlar. Yani kısaca gereksizyorumcunun çözümü doğru idi. :)

x²=4 denklemini çözmek ile, x³=-8 denklemini çözmek arasında, tanım itibariyle hiç bir fark yoktur.
x²=4 denkleminin köklerini x=2 olarak değil, x=2 veya x=-2 olarak buluyoruz.
x³=-8 denkleminin tek farkı reel sayılar kümesi içinde tek kökünün yani -2 nin olması.
x³=-8 denkleminin kökü yoktur demek, x²=4 denkleminin kökü sadece x=2 dir demekle aynıdır.
Tersine
matematikte √4=2 olarak alınması yani -2 nin alınmaması, karmaşaya yol açmaması içindir.
√4 ün, kökü olarak sadece 2 nin alınması, -2 nin kök olmaığı anlamına gelmez.
Köklerden pozitif olanını almak bildiğim kadarıyla sadece çift dereceli kökler için geçerli, tek dereceli kökler için böyle bir tanım olduğunu zannetmiyorum. Gerek de yok zaten.
Çünkü tek dereceli köklerde reel sayılarda tanımlı bir tane kök var. Bunun da yok sayılması daha büyük bir karmaşaya yol açar.
Çift dereceli köklerde, tek kök kabul edilmesi mantığının, tek dereceli köklere uygulanması, çözümlü bir denklemin, çözümsüz olarak kabul edilmesidir.
Böyle düşünmek,
x²=-4 denklemi ile, x³=-8 denklemini aynı görmek demektir ki bu da son derece yanlıştır.