1)
50. dereceden bir değişkenli bir polinomun katsayıları ardışık tek sayılardır. Azalan kuvvetler biçiminde dizilmiş bu polinomun sabit terimi 3 tür. Bu pol'un x+1 ile bölümünden kalan kaçtır? (53)

2)
P(x)=(x-2)^2-n+(x-3)^2-n-1 polinomu (x-2)(x-3) ile tam bölünebildiğine göre, n için ahg doğrudur?
a)doğal sayıdır
b)negatif tek sayıdır
c)tek sayıdır
d)pozitif tek sayıdır
e)negatif çift sayıdır

3)
Bir P(x) polinomunun x³-1 ile bölümünden kalan 2x²+3x-1, x³+1 ile bölümünden kalan x²-3x+2 olduğuna göre, P(x) polinomunun x²-1 ile bölümünden kalan nedir? (-x+5)

4)
P(x).P(x-n)=4x²-6x+m ise, m ahg eşit olamaz?
a)-4
b)-3
c)0
d)1
e)3

5)
P(x)=(√x-a)²+x²-ax+4 ise x+2 ile bölümünden kalan kaçtır? (6)

1)Öncelikle polinomu ifade edelim; 50. dereceden tek değişkenli ve azalan kuvvetler biçiminde dizilmiş bir polinom; x⁵⁰+x⁴⁹.....x¹+x⁰ şeklinde olacaktır.
Katsayıları ardışık tek sayılar olduğuna göre ve sabit terimi 3 olduğuna göre x⁰ a 3 katsayısını ekleyerek x⁵⁰ ye kadar katsayıları yerleştirirsek ki bunu ilk terimden itibaren (2n+1) kuralı ile yaparsak x⁵⁰ terimi 51. terimimiz olacağından 2.51+1=103 en büyük katsayı olacaktır. Yani polinom;

P(x)= 103.x⁵⁰+101.x⁴⁹+...+5x¹+3 olacaktır.

x+1 ile bölümünden kalan x yerine -1 konularak bulunabilir.Bu durumda;

(103-101)+(99-98)+....+(7-5)+3 biçiminde bir işlem ortaya çıkacaktır. Parantez içerisindeki her grup 2 sonucunu verecektir ve 25 tane grup bulunmaktadır. Bu durumda;

50+3=53 sonucuna ulaşabiliriz.

2) Soruda verilen polinomda x yerine 2 veya 3 yazdığımızda polinom sıfıra eşit olmalıdır. Bu durumda parantez içerisindeki (x-2)^2-n+(x-3)^2-n işlemlerinin sonucu 1 olmalıdır ki -1 ile sıfıra ulaşabilelim. Bu durumda;

x=2 için;

(-1)^2-n

ve x=3 için;

(1)^2-n

bire eşit olmalıdır. Bunu sağlamak için 2-n çift olmalıdır. Yani n negatif çift sayı olursa polinom tam bölünebilir.

3)
Q(x),R(x) ve T(x) bölüm polinomları olmak üzere, P(x) polinomlarını oluşturalım.
P(x)=(x-1)(x²+x+1).Q(x)+(2x²+3x-1)
P(x)=(x+1)(x²-x+1).R(x)+(x²-3x+2)

Buradan P(1)=4, P(-1)=6 gelir. Bunları aşağıda oluşturduğumuz polinomda kullanıp x²-1 ile bölümünden kalanı bulacağız. Bulacağımız kalan bölenin derecesinden küçük olmak zorunda olduğundan ax+b yani doğrusal olarak kabul edilmeli.

P(x)=(x+1)(x-1).T(x)+(ax+b)

a+b=4
-a+b=6 ve buradan a=-1, b=5 olarak bulunur. Kalan (-x+5)

4)
P(x).P(x-n)=4x²-6x+m ise, m ahg eşit olamaz?
a)-4
b)-3
c)0
d)1
e)3

İki eş polinomun çarpımı 2.derece ise polinom 1.dereceden bir polinomdur çarpım polinomunun baş katsayısı 4 ise ax+b cinsinden polinom yazıldığında a=2 olmalıdır
(2x+b)(2(x-n)+b)=4x²-6x+m

(2x+b)(2x-2n+b)=4x²-4nx+2bx+2bx-2nb+b²=4x²-6x+m

-4n+4b=-6
2b-2n=-3 olmalıdır

b²-2nb=m
iki tarafa b² ekleyelim
b(2b-2n)=m+b²

-3b=m+b²
b²+3b+m= 0 denkleminin reel kökü olması için diskriminant 0 veya 0'dan büyük olmalıdır 0'dan büyük olursa denklem reel köklü çıkmaz yani b karmaşık çıkar karmaşık olamayacağından diskriminant 0'dan küçük olamaz hangisi olamaz dediği için 0 'dan küçük olma durumuna bakacağız

9-4.1.m<0
9-4m<0
Burada m sayısı 9/4'ten küçük olmamalıdır yani şıklara bakarsak m=3 olamaz

5)
P(x)=(√x-a)²+x²-ax+4 ise x+2 ile bölümünden kalan kaçtır? (6)

x=-2 yazarsak parantezi açarsak

-2+[-2(√-2).a]+a²+4+2a+4 ifadesine bakarsak polinomda hiçbir zaman kalan veya katsayılar karmaşık olamaz o yüzden a=0 dır
-2+4+4=6 yapar

Teşekkürler cümleten.