Polınom soruları

1.soru
Başkatsayısı 2 olan 3.dereceden P(x) polinomunun x²+4x+6 ile bölümünden kalan 2x+6 ve P(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 41 olduğuna göre P(x) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan kaçtır? a)100 b)96 c)90 d)84 e)72
2.soru
P(x) pozitif kat sayılı doğrusal bir polinom ve c ∈ R dir. xP(Px))+ P²(x)=8x²+cx+1 olduğuna göre P(c) kaçtır? a)3 b)7 c)15 d)17 e)21
3.soru
P(x)=x³-5x²+ax+b polinomunun (x²-x+1) ile tam bölünebilmesi için a+b kaç olmalıdır? a)3 b)2 c)1 d)-1 e)2
4.soru
(x-1)²P(x)=2x⁴+(a-2)x³+(b-1)x denklemi veriliyor. P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan kaçtır? a)6 b)8 c)10 d)12 e)14
5.soru
(x-1).P(x)=x¹²-1 eşitliğini sağlayan P(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan kaçtır? a)1 b)5 c)7 d)12 e)19
şimdiden çok teşekkür ederim uğraşan herkese :) :) :)

5.soru
x¹²-1=(x⁴)³-1=(x⁴-1).(x⁸+x⁴+1)
x⁴-1=(x²-1).(x²+1)=(x-1).(x+1).(x²+1) bunları yerlerine yaz.
(x-1).p(x)=(x-1).(x+1).(x²+1).(x⁸+x⁴+1) x-1 sadeleşir.
p(x)=(x+1).(x²+1).(x⁸+x⁴+1)

x-1 ile bölünecekmiş.
x-1=0
x=1 için
12 gelir.

4.soru
bilgi
polinonlarda türev alma;
burada x'in kuvveti önüne gelir ve kuvvet 1 azalır.
P(x)=x⁴'ün türevi P'(x)=4x³ şeklindedir. genellersek
P(x)=xⁿ ise bunun türevi
P'(x)=n.x^n-1'dir ve polinomun derecesi kadar türev alınabilir.
bunu tamkare, tamküp... gibi ifadelerde almanı öneririm. onlarda çakışık kökler olduğu için soruları genelde türev alınarak çözülür.

x=1 için polinomun sol tarafı x-1 çarpanı yüzünden sıfırlanır.
0=2+a-2+b-1
a+b=1

bu sefer polinomun türevini al. çünkü sağ tarafta tam kare ifade var.
2(x-1).P'(x)=2.4x³+3.(a-2)x²+1.(b-1).x⁰
x=1 için gene eşitlik sıfırlanır. işlem yaparsan
3a+b=-1 gelir. 2 bilinmeyenli 2 denklem oluştu. birbirinden çıkartırsan
a=-1 ve b=2 gelir.

polinom x-2 ile bölündüğünde kalan nedir deniliyor.
x-2=0
x=2 için polinom nedir demeye gelitiyor.
(2-1)².p(2)=2.2⁴+(-1-1).2³+(2-1).2=10 gelir.

3.soru
x²-x+1 ile tam bölünmesi için
x²=x-1 yazman gerek.
p(x)=x.x²-5x²+ax+b x² yerine x-1 yaz.
x.(x-1)-5(x-1)+ax+b=0
x²-x+5x+5+ax+b=0
x-1-x+5x+ax+b=0
a=-5,b=4 gelir. toplamları -1'dir

2.soru
p(x) 1. derecedendir ve katsayıları pozitiftir. çünkü p(x)'in karesi alınmış ve yine P(x) x ile çarpılıp toplanmış ve sonuç 2. dereceden bir polinom olmuş.
p(x)=ax+b olsun
P(P(x))=a²x+ab+b
x.(pop)(x)=a²x²+abx+bx
p²(x)=a²x²+2abx+b² bunları topla
x.(pop)(x)+p²(x)=2.a².x²+(3ab+b)x+b²=8x²+cx+1
2a²=8
a²=4
a²=±2 gelir. ama p(x) katsayıları pozitif olacağından -2 alınmaz. a=2'dir.
b²=1
b=1
c=3ab+b=6+1=7

1.soru'yu çok uzun yoldan yaptım. kısa yapan çıkmazsa çözümünü paylaşırım.
cevap 100 çıkmalı

Cok tesekkurler gercekten cok ugrasp cozememistim . Cok sagolun . 1.soruyuda yazArsin cok sevinirim . Birde 4.soruda 3a+b=-4 olmasi lazim degil mi. Bi daha bakar misiniz. Oyle cozuncede cevap cikmiyor anlayamadim. :(

ben yanlış yazmışım a-2'yi a-1 diye yazmışım. düzeltiyorum

1.soru
p(x)=2x³+bx²+cx+d olsun. başkatsayısı 2 ve 3. dereceden olduğu için.
x-1 ile bölündüğünde 41 kalanını veriyor.
x-1=0
x=1 için 41 yerine yazdığınızda
b+c+d=39 gelir.
c+d=39-b ilered yarayacak ;)

daha sonra x²+4x+6 bölündüğünde kalan 2x+6 oluyormuş.
x²+4x+6=0
x²=-4x-6 yani x² gördüğün yere bunu yaz.
2.x.x²+bx²+cx+d=p(x)
2.x.(-4x-6)+b(-4x-6)+cx+d=2x+6
-8x²-12x-4bx-6b+cx+d=2x+6
-8(-4x-6)-12x-4bx-6b+cx+d=2x+6
32x+48-12x-4bx-6b+cx+d=2x+6
32x-12x-4bx+cx=2x x'leri sadeleştir.
20x-4b+c=2
48-6b+d=6 karşılıklı topla
68-10b+c+d=8 yarayacak dediğim ifadeyi yaz
60-10b+39-b=0
-11b=-99
b=9
b'yi yerine yaz c ve d'yi bul.

polinomun x-2 ile bölümünden kalanı istiyor.
x-2=0
x=2 yaz ve cevabı bul.

1. soru için şöyle de çözüm yapılabilir
polinom (2x+c).(x²+4x+6)+(2x+6) olsun
P(1)=(c+2).(11)+8=41 verilmiş , c=1 bulunur
P(2) soruluyor = 5.18+10=100