-
çarpanlara ayırma
1)p(x)=3xa -2x² polinomu veriliyor.
der[P²(x³)]=24 olduğuna göre p(2) kaçtır?
2)x-2y+z=4
x²+4y²+z²=2 olduğuna göre 2xy+2yz-xz kaçtır?
3)üçüncü dereceden p(x) polinomu (x+1),(x+2) ve(x-a) ile tam bölünüyor.
p(x) polinomunun sabit terimi -12 katsayı toplamı -24 olduğuna göre p(2) kaçtır?
4)p(x) polinomunu x+2 ile bölünmesiyle elde edilen bölüm Q(x),kalan 3 tür. Q(x) polinomunun x-1 ile bölümünden kalan 5tir.
buna göre p(x) polinomun x²+x-2 ile bölümden kalan kaçtır?
5)x≠2 olmak üzere x³-8=0 olduğuna göre
x⁴+4x³+15x²+22x +40 ifadesinin değeri kaçtır?
-
C.1
d[P(x)]=m olsun.
d[P²(x³)]=2.3.m=6m olur.
6m=24 ise m=d[P(x)]=4 olur.
Bir polinomun derecesi o polinomdaki en büyük dereceli terimin(x'lerin üssü en büyük olacak.) derecesidir.
O halde; P(x)=3xa-2x² ve d[P(x)]=4 olduğundan a=4 olmalı.
NOT: Yukarıda x"'lerin üssü" ifadesini kullandım; ama bu ifade biraz tehlikeli. Onun yerine pollinomdaki değişkenin(P'nin parantez içine yazılan ifade) üslerinden en büyük olan üs polinomun derecesidir. Örneğin; P(m)=x⁵+x.m+2x olsun. d[P(x)]=1 olacaktır.
Bir de P(x,m) tarzında polinomlar var ki; onlarda da x ve m'lerin üsleri toplamlarından en büyük olan, polinomun derecesi olarak kabul edilir.
-
C.2
x-2y+z=4 denkleminin karesini alırız.
x²+4y²+z²-4xy+2xz-4yz=16 olur.
NOT: Burada şu özdeşliği kullandık:
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
Bu özdeşlikte a yerine x, b yerine -2y, c yerine z yazarsak; istediğimiz sonucu elde ederiz.
x²+4y²+z²=2 eşitliği soruda verilmiş. Bunu bulduğumuz denklemde yerine yazalım.
2-4xy+2xz-4yz=16 olur.
-4xy+2xz-4yz=14 olur.
2xy-xz+2yz=-7 olur.
-
C.3
Bu P(x) polinomunun (x+1)'e bölümünden kalanı bulmak istesek, P(-1)'e bakardık. P(x)'in (x+1)'e bölümünden kalanın 0 olduğu söylenmiş. O halde P(-1)=0 olur. O halde;
P(x)=(x+1).M(x) gibidir. Başka türlü P(-1)=0 olamaz.
Yine aynı mantıktan; P(x)'in içinde (x+2) ve (x-a) çarpanları da mevcuttur. Yani;
P(x)=(x+1).(x+2).(x-a).N(x) gibidir.
Ayrıca soruda P(x)'in derecesinin 3 olduğu söylenmiş. Görüldüğü gibi P(x), aslında dört polinomun çarpımıdır. Polinomların çarpımının derecesi bulunurken, çarpanların dereceleri toplanırdı. O halde;
d[P(x)]=3=1+1+1+d[N(x)] olur. Buradan d[N(x)]=0 olur.
Yani, N(x) polinomu bir sabit polinomdur. Diyelim ki; N(x)=n olsun. (n∈R)
P(x) =(x+1).(x+2).(x-a).n olur.
Ayrıca soruda P(x)'in sabit teriminin (P(0)) -12 olduğu , P(x)'in katsayıları toplamının (P(1)) -24 olduğu verilmiş.
P(x)==(x+1).(x+2).(x-a).n idi. O halde; P(0)=(0+1).(0+2).(0-a).n olur.
P(0)=-12 demiştik; -2an=12 olur. an=-6 olur.
Yine aynı mantıktan; P(1)=2.3.(1-a).n=6n-6an=-24 olur.
an=-6 bulmuştuk; 6n+36=-24 olur. 6n=-60 olur. n=-10 olur. a=3/5 olur.
P(2)=3.4.(2-3/5).-10=-120.7/5=-168 olur.
-
C.4
P(x)=(x+2).Q(x)+3 olur.
Q(x)=(x-1).B(x)+5 olur. (B(x) bir polinom.)
P(x)=(x+2).(x-1).B(x)+5.(x+2)+3
P(x)=(x²+x-2).B(x)+5x+13
Kalan 5x+13 olur.
-
C.5
Kural: M(x).N(x)=0 ise M(x)=0 veya N(x)=0 'dır.
x³-8=0 imiş.
(x-2).(x²+2x+4)=0 olur.
x=2 veya x²+2x+4=0 olur.
x≠2 verildiğinden; kesinlikle x²+2x+4=0 olmalıdır.
Şimdi istenen ifadeye gelelim:
=x⁴+4x³+15x²+22x +40
=x².(x²+2x+4)+2x.(x²+2x+4)+7.(x²+2x+4)+12
=x².0+2x.0+7.0+12=12 olur.