Soru şöyle:
P(x)=x⁴+3x²+2x+6
polinomunun (x²-2x+1) ile bölümünden bölüm Q(x) olduğuna göre, Q(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır? (CVP: 9)
Bu soruyu aslında çözdüm; ama kısa bir yolu var mı diye sormak istedim. Ben çözümümde; P(x)'in (x-1)³ ile bölümünden kalanı buldum, daha sonra bölme eşitliğinden cevap çıktı. Ancak; bu kalan bulma işi biraz uzun sürüyor.
Acaba türevden bir çözüm yapılabilir mi? (Ama tabi kalanın sıfır olmaması işi bozuyor.)
Ya da şunu sorayım: bir P(x) polinomunun (x-a)ⁿ 'a bölümünden kalanı P(x)'in birinci türevi, ikinci türevi vs. ne olursa olsun P(x)'in (n-1) inci türevinde a'nın görüntüsüne mi eşit?

türevde a nın görüntüsü bir reel sayıdır, bölümden kalan ise bir polinom galiba sorudaki formuyla demek istediniz yani önce bir derece altına bölünüyor sonra bölüm bi kere daha bölününce oluşan kalan için diyosanız

P(x) ve (x-a)ⁿ⁺¹ için incelemeye çalışalım

P(x)=(x-a)ⁿ.Q(x)+R(x) olsun
Q(x) in (x-a) ile bölümünden kalanı yani Q(a) yı bulmamız isteniyor

P(x) in n. dereceden türevini alırsak bu ifadede x=a yazdığımızda içinde sıfır barındırmayan tek terim n!.Q(a) olacaktır . (gece gece uzatmayalım tümevarımla gösterebilirsiniz , diğer tüm terimlerde (x-a) çarpan olarak bulunur)
sonuçta sorduğunuz sorunun cevabı n. türevde a nın görüntüsünü n! e bölmek olarak çıkar

yukarıdaki soruda P''/2!=(12x²+6)/2! |_x=1 = 18/2=9