-İkinci Dereceden Denklemler-

S-1
x(x-2)(x-3)(x-5)=40 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır ?

S-2
x²-8xy+6y²=0 olduğuna göre, y/x ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır ?

S-3
x²+6x-3m+2=0 denklemin kökleri x₁ ve x₂ dir.
x₁²+7x₁+x₂=40 olduğuna göre, m kaçtır ?

C-1)


x(x-2)(x-3)(x-5)=40 denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır ?

x.(x-5).(x-2).(x-3)=40 şeklinde yazarsak

(x²-5x).(x²-3x-2x+6)

(x²-5x).(x²-5x+6)=40

x²-5x=k olsun

k.(k+6)-40=0

k²-6k-40=0

(k-10).(k+4)=0

yerine yazarsak

(x²-5x-10).(x²-5x+4)=0

ilk çarpanın Deltası<0 olduğundan 2. ye bakarsak Delta>0 olduğundan kökler toplamı 5 olur.

x²-8xy+6y²=0 olduğuna göre, y/x ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır ?

C-2)

x²-8xy+6y²=0

x²-8xy+16y²-10y²=0

(x-4y)²-10y²=0

(x-4y-y√5).(x-4y+y√5)=0

(x-y.(4+√5)).(x+y(√5-4))=0

x=y.(4+√5) ya da x=-y.(√5-4)

y/x=1/(4-√5) ya da y/x=-1/(4-√5)

C-3)

x²+6x-3m+2=0 denklemin kökleri x₁ ve x₂ dir.
x₁²+7x₁+x₂=40 olduğuna göre, m kaçtır ?

x₁(x₁+6)+x₁+x₂=40

x₁.(x₁+6)-6=40

x₁.(x₁+6)=46

x₁²+6x₁-46=0

Deltadan kökleri buluyoruz. x₁=±(3+√55)

x₁=√55-3 olursa x₂=-3-√55 olacaktır.

x₁x₂=-(√55-3).(√55+3)=-(55-9)=-46

3m+2=-46

3m=-48 ise m=-16 bulunur.

Umarım doğrudur. Biraz acele ettim :) Gidiş yollarından eminim ama işlem hataları olabilir.

Çözümlerin için çok teşekkür ederim Duygucum. Eline,emeğine sağlık.:)

1. soru için;
Misal
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=m
denkleminin reel köklerinin toplamı kaçtır ? gibi sorularda; reel kökler toplamı=a+b+c+d ise a,b,c,d ardışık mı olmalı ?
Örneğin;
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=8
(x²-5x+4)(x²-5x+6)=8
k.(k+2)=8
k=2
x²-5x+4=2
x²-5x-2=0
Kökler toplamı=5
k=-4
x²-5x+4=-4
x²-5x+8=0
Kökler toplamı=5
Reel kökler toplamı=5+5=10
Veya
1+2+3+4=10
Yani demek istediğim bu sadece ardışık olduğunda mı geçerli ?

2. soru için;
Bulduğun sonuç 0 olarak gözüküyor ancak cevap 4/3 imiş. Ben ise 3/4 buluyorum.
Ben şu şekilde yaptım:
x²-8xy+6y²=0
x ifadesini sabit bir sayı kabul edelim.
y ifadesinin alabilceği değerler toplamı=8x/6=4x/3=
y yerine 4x/3 yazarsak;
[4x/3]/x=4/3

3. soru için;
Cevabı ben ise 16 buldum. Ama cevap 15 imiş.
Ben şu şekilde yaptım.:
x₁+x₂=-6 ise; 6 yerine (-x₁-x₂) yazalım.
x₁²+6x₁+x₁+x₂=40
x₁²+(-x₁-x₂)x₁+x₁+x₂=x₁²-x₁²-x₁.x₂+x₁+x₂=-x₁.x₂+x₁+x₂=-(-3m+2)-6=40
46=3m-2
m=16
Nerede hata yaptım hiç göremedim doğrusu.

**** Cevap anahtarına yanlış bakmışım 2. sorunun cevabı 4/3, 3. sorunun cevabı 16 imiş. Bugünlerde çok dalgınım. Seni de uğraştırdım kusura bakma tatlım.

Genelleme yapmayı pek sevmem ama ardışık olmayan başka bu şekilde çözülen sorularda bulunabilir diye düşünüyorum. Ezber yapmak yerine sorularda yani bu reel sayı sorularında, uygun olan terimleri çarpmak gerekir. Yani bir k sabiti bulmamız lazım, ve tabi eşitliğin sıfıra eşit olması gerekli.

3. soruda verilen ilk denklem ile Duygunun bulduğu denklemler aynıdır, sadece sabit terimleri eşitlemek yeterli
-3m+2=-46
m=16

2)x²-8xy+6y²=0 olduğuna göre, y/x ifadesinin alabileceği değerler toplamı kaçtır ?

x²-8xy+6y²=0 ise ,

6.(y²/x²)-8.(y/x)+1=0
y/x=t dönüşümü yapılırsa,

6.t²-8.t+1=0 denkleminin kökler toplamı isteniyor.
8/6=4/3