-Polinomlar-

S.1

P(x)=ax¹⁵+bx⁹-3
polinomunun çarpanlarından biri x³+1 dir.
Buna göre, P(x) polinomunun x²+1 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir ? C.(3x-3)

Şöyle mantık yürüttüm:
P(x)=(x+1).(x²-x+1).(ax⁵+........)
P(x) polinomunun x²+1 ile bölümünden kalanı bulmak için x² yerine -1 yazalım.
P(x)=(1-x).(ax⁵+........)
Bu durumda cevap şıklardan sadece 3x-3 olabilir. Ancak hangisi olabilir demediği için kesin bir çözümü vardır diye umuyorum.

S.2

P(x)=axⁿ⁺¹+bxⁿ+1 polinomunun çarpanlarından biri x²-2x+1 olduğuna göre, a kaçtır ? C.(a=n)

S.3

P(ax)=x⁴+ax+b
P(bx)=x⁴+bx+a
P(a)=5
olduğuna göre, P(-2) kaçtır ? C.(1)

S.4

n doğal sayıdır.
P(x)=x⁴ⁿ-5x²ⁿ⁺¹+4x-6
polinomunun x³-x ile bölümünden kalan R(x) olduğuna göre, R(x) polinomunun x-3 ile bölümünden kalan kaçtır ?
C.(6)

Şöyle mantık yürüttüm:
P(x)=x.(x+1).(x-1).Q(x)+R(x)
R(x) max 2. dereceden bir fonksiyon olabilir.
R(x)=ax²+bx+c
P(0)=-6
c=-6
P(1)=-6
a+b+c=-6
a+b=0
P(-1)=-4
a-b+c=-4
a-b=2
a=1
b=-1
ax²+bx+c=x²-x-6
R(3)=9-3-6=0
0 buluyorum ancak cevap 6 imiş.

3)
İlk polinomda P(0) = b
İkinci polinomda P(0) = a
o zaman a = b

İlk polinomda x = 1 için P(a) = 1 + a + b
a + b + 1 = 5, ve a = b'den a ve b 2 çıkar.
P(2x) = x^4 + 2x + 2
x = -1 için P(-2) = 1

4)
Seninle aynı sonucu buldum

2)
P(x)=axⁿ⁺¹+bxⁿ+1 polinomunun çarpanlarından biri x²-2x+1 olduğuna göre, a kaçtır ? C.(a=n)
x²-2x+1=(x-1)²
P(1)=a+b+1=0, a+b=-1
P'(1)=(n+1).a.xⁿ+b.n.x^n-1=0
P'(1)=(a+b).n+a=0
P'(1)=-n+a=0
a=n

3)
P(ax)=x⁴+ax+b
P(bx)=x⁴+bx+a
P(a)=5
olduğuna göre, P(-2) kaçtır ? C.(1)
P(a)=1+a+b=5
a+b=4
P(a.b)=b⁴+a.b+b
P(b.a)=a⁴+b.a+a
b⁴+a.b+b=a⁴+a.b+a
b⁴+b=a⁴+a
b=a=2
P(2.-1)=1-2+2=1

4. sorunun çözümünde bir hata göremedim. Sorular hangi kaynaktan?

1)
https://img689.imageshack.us/img689/...at01052012.png

slymnoymak hocam, frk ve ceday çözümler için teşekkür ederim. Elinize,emeğinize sağlık...
Sorular karekök yayınlarından.**

frk, soru 2'de türev kısmını anlayamadım ama, kurcalamayayım mı...

P(-1)= neden (-4) oldu?

4. soruda r(x) inasıl max 2. dereceden kabul ediyorsun bn anlamadım burayı?

n doğal sayı denmiş, -1'in çift kuvvetleri +1, tek kuvvetleri yine -1 olacak
x yerine -1 yazınca (-1)^4 -5(-1)^5 + 4(-1) - 6
1 + 5 - 4 - 6
P(-1) = -4

Kalanın derecesi bölümden küçük olacağı için R(x)'in derecesi en fazla 2 olabilir.

mateematik'den alıntı:

4. soruda r(x) inasıl max 2. dereceden kabul ediyorsun bn anlamadım burayı?

R(x) kalan ve bölenden küçük olmak zorunda olduğu için, daha küçük dereceli bir ifade olmak zorunda, sebebindendir diye düşünüyorum... 3. dereceden olursa bölenden büyük olabilir...

Ceday'den alıntı:

n doğal sayı denmiş, -1'in çift kuvvetleri +1, tek kuvvetleri yine -1 olacak
x yerine -1 yazınca (-1)^4 -5(-1)^5 + 4(-1) - 6
1 + 5 - 4 - 6
P(-1) = -4

teşekkür ederim, :)

tamam ya anladım 2. dereceden olabilir en fazla:)
çözümünüz doğru

Estağfirullah. Rica ederim Melek.

sinavkizi'den alıntı:

frk, soru 2'de türev kısmını anlayamadım ama, kurcalamayayım mı...

Kurcalamak güzeldir. Merak ilmin hocasıdır :) Tabii doğru merak :)
Soruna gelince. Bir P(x) polinomu (x-a)^b ifadesine tam bölünebiliyorsa;
P(x) polinomunun kendisi,1,2,3,..,(b-1). türevleri de (x-a) ifadesine tam bölünür. Bu durumda;
P(a)=P'(a)=P''(a)=P'nin (b-1). türevi=0 olur.
Sanırım sorunun cevabını aldın :)