Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!
20 Ağustos 2010

Facebookta paylaş
1x1x1 lik küpler birleştirilerek oluşturulan dikdörtgenler prizmasının tüm dış yüzeyi boyanıyor. Prizma yeniden 1x1x1 lik küplere ayrıldığında kendisini oluşturan küplerin tam olarak yarısının hiçbir yüzünün boyanmadığı farkediliyor. 
 
-Bu prizma oluşturulurken en az kaç tane 1x1x1 lik küp kullanılmış olabilir?
-Bu prizma oluşturulurken en çok kaç tane 1x1x1 lik küp kullanılmış olabilir?
 
bonus soru:Bu koşula uyan kaç değişik prizma inşa edilebilir?

avatar
gereksizyorumcu 27 Eylül 2010 01:18 | Yazar
Çözüm biraz uzun ve içinde burada yazmakta zorlanacağım semboller bulunduğundan resim olarak ekliyorum. Bir soru daha aradan çıkar, fazlaca cevapsız soru biriktirmemiş oluruz.

Çözüm
   
avatar
gereksizyorumcu 18 Eylül 2010 10:52 | Yazar
Bu soru pek ilgi uyandırmamış ama güzel bir tamsayılı denklem çözme örneğidir. Neyse birkaç ipucu/yol gösterimi not edip bırakayım. Çözümü de bu ayın 5. salı günü yazarız. *Böyle bir prizmanın en kısa kenarı en çok ne kadar olabilir, mesela 20 olabilir mi? *a=(3b-7)/(b-5) gibi bir denklemin (a,b) tamsayı çözümleri nasıl bulunur?
   
avatar
gereksizyorumcu 24 Ağustos 2010 15:50 | Yazar
Bu toplam prizmanın dış yüzeyindeki küp sayısını tam vermiyor. Bu toplamın her zaman 2 eksik sonuç verdiğini daha küçük birprizmada sayıp görebilirsin. Doğru saymak için şöyle yollar izleyebiliriz;

1.yol
Her yüzeyin ortasındaki (x-2)(y-2) alanların üzerine ayrıtlardaki küp sayısını ekleriz onlar da ayrıtların orta kısmındaki (x-2) kısımlara 8 köşenin eklenmesi yani 2((x-2)(y-2)+(x-2)(z-2)+(y-2)(z-2))+4(x-2+y-2+z-2)+8 bu da gerekli düzenlemeler yapılınca 2((x-1)(y-1)+(x-1)(z-1)+(y-1)(z-1)+1)) olur

2.yol (normal olarak düşünülmesi gereken kısa yol)
Dıştaki tüm küpleri çıkardığımızda içerde boyutları (x-2),(y-2) ve (z-2) olan bir prizma kalacağına göre boyanan küp sayısı xyz-(x-2)(y-2)(z-2) ve boyanmayan küp sayısı da (x-2)(y-2)(z-2) olur. ve 6x12x20 prizmasının dış yüzeyi boyanırsa tam 720 boyanmış 720 tane de boyanmamış küp oluşur.
   
avatar
kontdragon333 24 Ağustos 2010 10:42 | Üye
koşulu sağlaması için prizmanın tekrarsız alanları toplamı 720'ye eşit olması gerekir, yani;
2*[(x-1)*(y-1)+(x-1)*(h-1)+(y-1)*(h-1)]=x*y*h/2 olmalı...
Sizin örneğinize göre; 2*(5*11+5*19+11*19)=6*12*20/2
                                                                718   = 720
çıkmaktadır. Acaba nerde yanlış???

2*[(x-1)*(y-1)+(x-1)*(h-1)+(y-1)*(h-1)]=x*y*h/2 bu denklemin çözümü sorunun cevabı olacaktır...
   
avatar
gereksizyorumcu 20 Ağustos 2010 00:33 | Yazar
Sorunun daha iyi anlaşılması için sorudaki koşulu sağlayan bir örnek prizma vereyim.

6x12x20 prizmasını ele alalım.
Bu prizmanın dış yüzeyi boyanırsa 1440 küpten tam olarak 720 si boyanmış 720 sine de boya değmemiş olur.
   

Zorunlu

Zorunlu