Natalie Mars Matematik Konu Anlatımları » Sayfa 9 Natalie Mars
  Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!

» » Matematik Konu Anlatımları » Sayfa 9

Bir x sayısı, a sayısından büyük ise bunu x > a, b sayısından küçük ise bunu da x < b olarak gösteriyorduk. x sayısı a’dan büyük ve b’den küçük ise
a ile b arasındadır. Bu iki esitsizligi birlestirip arasında olmak ile ilgili bir gösterim yazacağız. x > a ile a < x aynı seydi. Bundan sonra a < x ile x < b esitsizliklerini birleştirerek x’in a ile b arasında olmasını a < x < b yazarak göstereceğiz.
Aksi iddia edilmedikçe böyle bir gösterimde a, x, b degerleri
reeldir. Yani, 3 < x < 5 eşitsizlikleri bize x’in 4 olduğunu değil, 3 ile 5 arasında bir reel sayı olduğunu anlatmalıdır.

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax+b = 0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denildiğini görmüştük.
Bu ifadedeki = yerine , ≤ , ≥ sembollerinin kullanılmasıyla oluşan ifadeye ise birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir. ax+b = 0 denkleminin kökü olan x=-b/a , yine eşitsizliğin de kritik noktasıdır. Çözüm kümesiyle ilgili kuralı içeren tablo aşağıda belirtilmiştir.

Basit eşitsizlikler tablosu


Konu anlatımının devamı alltaki dosyalardadır.

Kartezyen çarpım nedir?

A ve B boş olmayan iki farklı iki küme olsun. Birinci bileseni A kümesinin elemanlarından, ikinci bileseni de B kümesinin elemanlarından olacak sekilde elde edilebilecek tüm sıralı ikililerin olusturdugu kümeye A kartezyen B kümesi denir. Yaptıgımız isleme de A ile B’nin kartezyen çarpımı adı verilir ve A×B seklinde gösterilir. Eger birinci bilesenler B kümesinin elemanlarından, ikinci bilesenler de A kümesinin elemanlarından seçilerek sıralı ikililer yapılsaydı, bu sıralı ikililerin olusturdukları kümeye de B×A kümesi denirdi.
A×B = {(x, y) : x€A ve y€B}
B×A = {(x, y) : x€B ve y€A}

Bağıntı nedir?

A ve B bos olmayan iki farklı küme olsun.A×B’nin her bir altkümesine A’dan B’ye bir bagıntı denir. Dogal olarak, B×A’nın her bir alt kümesine de B’den A’ya bir bağıntı denir.

Alttaki konu anlatımı videolarında

* Boş olmayan A ve B kümenin elemanlarını alarak, oluşturulan (a, b) çiftinin sıralı ikili olduğunu tanıyabilecek,
* Hangi şartlarda sıralı ikililerin birbirine eşit olmasını bulabilecek,
* Kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısını bulabilecek,
* Kartezyen çarpımın özeliklerini tanıyabilecek,
* Dik koordinat sistemini ve analitik düzlemi tanıyabilecek,
* Düzlemdeki bir P noktasının (x, y) sıralı ikilisiyle eşlendiğini belirtebilecek,
* Koordinatları verilen P(x, y) noktasının yerini analitik düzlemde bulabilecektir

Sıralı İkili Nedir?
(a, b) seklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Burada a ve b birer sayı olabilecegi gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan ne oldukları degil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadıgı ikililere sadece ‘’ikili’’ deriz.ikilinin birinci sıradaki elemanına birinci bilesen, ikinci sıradaki elemanına ikinci bilesen denir.
Örnegin, (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileseni a, ikinci bileseni b’dir.
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımı denir. Bu küme, A x B şeklinde yazılır, “A kartezyen çarpım B” diye okunur.
Bu tanıma göre, A x B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} şeklinde ifade edilir.
Bağıntı Nedir?
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A x B kümesinin her β alt kümesine, A kümesinden B kümesine bir ikili bağıntı veya kısaca bağıntı denir.
BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
Yansıma Özeliği
β bağıntısı, A kümesinin üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. A kümesinin her a elemanı için (a, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının yansıma özeliği vardır veya β yansıyan bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ a ∈A için (a, a) ∈β] ise β bağıntısı yansıyandır.
Simetri Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer, her (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının simetri özeliği vardır. Veya β simetrik bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ] ise β bağıntısı simetriktir.
Ters Simetri Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer her (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β iken a = b oluyorsa, ve her (a, b) ∈ β için (b,a) ∉ β ise β bağıntısının ters simetri özeliği vardır veya β ters simetrik bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∉ β] ise β bağıntısı ters simetriktir.
(a, a) şeklindeki elemanları eşit olan ikililer β bağıntısının ters simetri özeliğini bozmazlar.
Geçişme Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer a, b, c ∈ A için, her (a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β ise (a, c) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının geçişme özeliği vardır veya β bağıntısı A kümesinde, geçişken bir bağıntıdır denir.
O halde [ ∀ (a, b) ∈ β Λ (b, c) ∈ β⇒(a, c) ∈ β ] oluyorsa, β bağıntısının geçişme özeliği vardır.
Denklik Bağıntısı
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı verilsin. Bu β bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelikleri varsa, β bağıntısına A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı denir.
β bağıntısı, A kümesinde bir denklik bağıntısı olsun. (a, b) ∈ β ise a ve b elemanları β bağıntısının denklik bağıntısına göre, birbirine denktir denir. a ≡ b şeklinde gösterilir.
Sıralama Bağıntısı
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı β olsun. Bu β bağıntısının yansıma, ters simetri ve geçişme özelikleri varsa, bu bağıntıya bir sıralama bağıntısı denir. A kümesi üzerinde tanımlı β bağıntısı bir sıralama bağıntısı, olsun. A kümesinin her elemanı, β bağıntısı ile bağlı ise bu bağıntıya tam sıralama bağıntısı denir. O halde, β bağıntısı Akümesi üzerinde bir sıralama bağıntısı ise her (a, b) ∈ A için (a, b) ∈ β veya (b, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısı bir tam sıralama bağıntısıdır.
Konunun devamında bağıntı ve özellikleri ve çözümlü soruları mevcuttur.

Ardışık terimlerinin arasındaki farkın sabit oldugu dizilere aritmetik dizi denir. ( n) = (1, 2, 3, 4, ..., n, ...) dizisi bir aritmetik dizidir. örnegin, çünkü her ardısık terim arasındaki fark 1’dir. Dikkat edin, farka –1 demedik çünkü bu farkı bulurken iki terim arasındaki farkın mutlak degerini almıyoruz, herhangi bir terimden kendinden bir önce gelen terimi çıkartıyoruz. Adına da ortak fark diyoruz. Ortak farkı, d’yle göstermek adet olmus, biz de öyle yapacağız.

(n) = (1, 2, 3, 4, ..., n, ...) aritmetik dizisinde
d = a2 - a1=2-1=1
d = a3 - a2=3-2=1
d = a4 - a3=4-3=1
.........................................................
d = an - an-1=n-(n-1)=1

Benzer şekilde (2n + 7) = (9, 11, 13, ..., 2n + 7, ...)
dizisi de aritmetik dizidir. Bunda ortak fark 2'dir.
(3− 4n) = (−1,− 5,− 9, ..., 3− 4n, ...)
dizisi de bir aritmetik dizidir. Ortak farkı –4’tür.

Tahmin edileceği üzere
(an)=(5)=(5, 5, 5, ..., 5, ...)
gibi sabit diziler de aritmetik dizidir, ortak farkı 0’dır.
Genel olarak, (an + b) aritmetik dizisinin ortak farkı a’dır diyebiliriz, neden olduğunu siz düşünün.

Aritmetik Dizinin Genel Terimi; (an)=a1+(n-1).r

Geometrik Dizinin Genel Terimi; a, r ∈ R, a ≠ 0, r ≠ 0 olmak üzere genel terimi an=a1.rn-1 olan (an) dizisine geometrik dizi denir. (r: ortak çarpan)

Geometrik Dizinin Özellikleri

1) k < n olmak üzere an=ak.rn-k

2) a1: 1. terim, an: n. terim, r: ortak çarpan ise ilk n terim toplamı;

Sn=a1+a2+a3+...+an veya

alt

3) an-1.an+1=an2

Konunu devamında aritmetik dizi sorularını da bulabilirsiniz.