Natalie Mars Matematik Konu Anlatımları » Sayfa 7 Natalie Mars
  Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!

» » Matematik Konu Anlatımları » Sayfa 7

Kesir nedir?
Bir bütünün kaç eş parçaya bölündüğünü ve bunlardan kaçının alındığını gösteren sayılara kesir denir.
3/5 , 4/2 , 1/2 , 13/5  birer kesiridr.
Kesir çeşitleri
Basit kesir , payı paydasında küçük olan kesirler basit kesir denir. 1/2 , 3/5 ,78/120
Bileşik kesir , Payı paydasına eşit ve payı paydasından büyük olan kesirlere denir. 3/2 , 8/3 , 11/7
Tam syılı kesir , bir sayma sayısı ile basit kesirden oluşan kesirlere denir ...
 
Konunun devamında Kesirlerin sayı doğrusundan gösterilemsi, bileşik kesri tam sayılıkesre, tam sayılı kesri bileşik kesre çevirme, kesirlerin sadeleştirilmesi , kesirlerde sıralama , kesirlerle toplama , çıkarma, çarpma , bölme ve bunlarla ilgili  işlem soruları ve video anlatımı için konu devamında linkleri takip ediniz.

* 2 ile bölünebilme
Birler basamağı çift olan  ( 0,2,4,6,8)  sayılar iki ile tam bölünür.
* 3 ile bölünebilme
Bir sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ve 3'ün katı ise  3 ile tam bölünür.
* 5 ile bölünebilme
Birler basamağı 0 veya 5 olan her sayı 5 ile tam bölünür.
* 9 ile bölünebilme
Bir sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ve 9'ün katı ise  9 ile tam bölünür.

Konunun devamındaki dökümanda Asal çarpanlarına ayırma, En Büyük Ortak Bölen ( EBOB) , En küçük Ortak Kat (EKOK) ve  soruları  ve video anlatımı için konu devamında linkleri takip ediniz.
 

Tam sayılar nedir?
Sayıların önündeki ‘’+’’ ve ’’-’’ işaretleri sayıların yönünü belirtir.
Önünde ‘’+’’ işareti olan sayılar Pozitif sayılar, ‘’-’’ işareti olan sayılar Negatif sayılar olarak isimlendirilir.
Bir sayının önünde işareti yoksa bu sayı pozitif bir sayıdır.
Bu sayıları sayı doğrusu üzerinde gösterirsek;
alt
 
 
 
 
 
 
Konunun devamındaki dökümanda Tam sayıları tanıyalım , Mutlak Değer ,Tam sayılarda sıralama sorularını ve video anlatımı için konu devamında linkleri takip ediniz.

Doğal sayılar kümesi ve onluk sayma sistemi
N={ 0,1,2,3,4,5,6....} kümesine doğal sayılar kümesi denir. Doğal sayılar kümesinden 0 (sıfır ) sayısısnın çıkarılamsı ile  elde edilen S={1,,2,3,4,5,6..} kümesine sayma sayıları denir(nedir) Ayrıca S ⊂ N dir.
 
Rakam nedir?
Sayıları yazmak için kullandığımız sembollere rakam denir. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
 
Doğal sayılarda sıralama
Doğal sayıları küçükten büyüğe doğru 0<1<2<3<4<5... şeklinde sıralanır.

Ardışık doğal sayılar nedir?
Bu şekilde ard arda gelen sayılara ardışık doğal sayılar denir.
 
Konunun devamında  Basamak değeri, sayı değeri, Üslü doğal sayılar, Toplama , çıkarma , çarpma , bölme  işlemi özellikleri ve doğal sayılar ile ilgili test soruları ve video anlatımı  için konu devamında linkleri takip ediniz.

Tanımı: x2+1 = 0  denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz.x2+1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan karmaşık sayılar kümesini oluşturacağız. Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan RxR kümesini C ile gösterelim.
  C = {a + bi ; a,b €R  ve i2 = -1 }  kümesine karmaşık(kompleks) sayılar kümesi denir.
Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar kümesi adı verilir. C ile gösterilir. Her (a,b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir. z = a+bi   şeklinde gösterilir. Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında   a  reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı , b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir.z = a+bi  ise  Re(z) = a  ve   Im(z) = b   dir.

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
Karmaşık sayılar toplanırken (çıkarılırken) gerçel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır (çıkarılır).
z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i sayıları için
z1 + z2 = (x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (x1 + y2) i
z1 - z2 = (x1 + y1i) - (x2 + y2i) = (x1 - x2) + (y1 - y2)i dir.

Çarpma
İki ya da daha çok karmaşık sayının çarpma işleminde gerçel sayılarda tanımlı çarpma işlemi uygulanır (i nin kuvvetlerine dikkat etmek kaydıyla).
z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i sayıları için
z1. z2 = (x1+ y -1i ) . ( x2 + y2i)
= x1x2 + x1y2i + x2y1i+ y1y2i2
= (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1) i elde edilir

Bölme
İki karmaşık sayının bölümünde pay ile payda, paydanın eşleniği ile çarpılır
z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i sayıları için



Konunun devamındaki dökümanda sanal birimin kuvvetleri , eşleniği , işlemler , karmaşık düzlem , karmaşık sayının mutlak değeri , iki nokta arasındaki uzaklık , toplamın ve çıkarmanın geometrik gösterimi ,  karmaşık sayıların kutupsal gösterimi , argüment , test soruları ve karmaşık sayılar ile ilgili 100 soru (öss )bulunmaktadır.  

Herhangi bir (xn) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını "toplayalım". x1+ x2 + ... + xn + ... "toplamına" seri denir.

Bir (xn) dizisi verilsin. Bu dizinin ilk n tane teriminin toplamı olan x1+ x2 + ... + xn ifadesi sembolik olarak gibi yazılır. Buradaki Σ (sigma) harfi bu tür toplamları kısa olarak yazmak için kullanılır. k ya toplama indisi denir ve k indisi yerine başka indisin kullanılması sonucu etkilemez.
Σ işareti matematikde çok kullanışlıdır ve çok zaman uzun ifadelerin yazılımını kısaltmaya imkan verir.
Şimdi (xn) dizisinin sonlu tane elemanını değil de tüm elemanlarını "toplayalım". x1+ x2 + ... + xn + ... sonsuz "toplamına" seri denir.


Sigma gösterimi yardımı ile bu seri gibi gösterilir. Şimdi sonsuz sayıda gerçel sayının toplamına anlam kazandırmak için


serisinden yeni (sn) dizisini elde edelim:

s1 = x1 , s2 = x1+ x2 , s3 = x1+ x2 + x3 , ... , sn = x1+ x2 + ... + xn , ...

Eğer (sn) dizisi yakınsak olup limiti a ise


serisine yakınsak seri denir ve
=a

gibi yazılır. a sayısına serinin toplamı da denilir.
Eğer (sn) dizisi ıraksak ise


serisine ıraksak seri denir.


x1 , x2, ... sayılarına serinin terimleri, xn ye genel terimi, (sn) dizisine serinin kısmi toplamlar dizisi denir.
Görüldüğü gibi sonsuz sayıda gerçel sayının "toplamı", sonlu sayıdakilerin toplamlarının bir limiti olarak tanımlanmaktadır.

Konunun devamında yakınsak seri, ıraksak seri, kısmi toplamlar dizisi anlatımları , soruları ve değerlendirme soruları bulunmaktadır.

Limit nedir ?

Limit kavramı ve tanımı, kavram olarak eski olmasına kaşın, tanımlanması ve kullanılması çok eski değildir. Örneğin limit ünlü ε−δ tekniği ile tanımlanması ve kullanılması ülü Alman Matematikçisi Eduard Heine (1821-1881) tarafından olmştur. Limit fizik ve mühendislikte yaygın olarak kullanılılır. Limit kavramının öğrencilere verilmesi, tanıtılması, öğretilmesi ve öğrenilmesi öyle o kadar da kolay değildir. Bunun için, limitin tanıtılmasına önce sezgisel olarak yaklaşalım. Daha sonra tam tanımını verelim.
f(x) fonksiyonu verilsin. x noktası bir a noktasına yeteri kadar yaklaşsın. x noktasının a noktasına reel eksen üzerinde sağdan ve soldan olmak üzere, iki yönlü yaklaşımı vardır.




Burada, x değerinin a değerine eşit olması gerekmez. Bir çok durumda, a noktası, f(x) fonksiyonunun tanım bölgesinde olmayabilir. Yani, x noktası a noktasına (x≠a) sağdan ve soldan yaklaşırken f(x) fonksiyonu bir L sayısına yaklaşıyorsa f(x) fonksiyonunun bu a noktasında limiti vardır denir ve kısaca limit



A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR , y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer x değişkeninin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yaklaşma sembolik olarak x → a gibi gösterilir ve "x değişkeni a ya yaklaşıyor" şeklinde okunur. y = f(x) fonksiyonunun limitinin varlığı, x değişkeni a ya yaklaştığı zaman f(x) fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına bağlıdır.f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun. Eğer her ε > 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < | x - a | < δ eşitsizliğini sağlayan tüm x ∈ A değerleri için | f(x) - L | < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman x → a iken f(x) in limiti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki limiti L dir) denir.

  Süreklilik nedir?
Limit kavramı ile süreklilik kavramının birbiriyle çok yakın ilşkisi vardır. Kısaca söylemek gerekirse, süreklilik bir limit problemidir.
A ⊂ IR olmak üzere f: A → IR fonksiyonu verilsin ve a ∈ A olsun. Eğer Lim f(x) ( x →  a ) limiti varsa ve bu limit f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse,ise y = f(x) fonksiyonu x = a noktasında sürekli dir denir.

Konunun devamındaki dökümanda limitin özellikleri , limit ve süreklilik ile ilgili çözümlü soruları , süreklilik konu anlatımı bulunmaktadır.

a,b,c €R  ve a ≠0 olmak üzere  ax2+bx+c  şeklindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem denir.Bu açık önermeyi doğrulayan ( eğer varsa) x gerçek sayılarına denklemin kökleri , tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi , çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.

Konunun devamıda ki vdeolarda ve dökümanda

İkinci dereceden veya daha yüksek dereceden denklemlerin genel çözüm yönteminin çarpanlara ayırma yolu olduğunu fark etme
Özel durumlu ikinci dereceden denklemin çözüın kümesini bulabilme
Çarpanlarına ayrılabilen ikinci dereceden üç terimliyi içeren denklemin çözümünü yapabilme
İkinci dereceden denklemlerin genel çözümünü formülle yapabilme
İkinci dereceden bir denklemin tek reel kökünün olması için Δ = 0 şartının gerçekleştiğini fark edebilme
İkinci dereceden bir denklemin iki reel kökünün olması için Δ > 0 şartının gerçekleşmesi gerektiğini fark edebilme
Kökün denklemi sağlayan değer olduğunu fark edebilme
İki denklemin kökü olduğunda, denklemlerin diğer köklerini bulabilme
İkinci dereceden denkleme dönüşebilen yüksek dereceden denklemleri çözebilme
İkinci dereceden denklem yardımıyla üstel denklemleri çözebilme
İkinci dereceden denklem yardımıyla köklü denklemleri çözebilıne
İkinci dereceden denklemine dönüşen rasyonel denklemleri çözebilme
İkinci dereceden denklem yardımıyla mutlak değerli denklemleri çözebilme
Kökleri bilinen ikinci dereceden denklemi kurabilme
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamının -b/a ya eşit olduğunu kavrayabilme
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökler çarpımının c/a ya eşit olduğunu kavrayabilme
İki kök arasındaki bağıntı bilindiğinde, kök ve katsayılar arasındaki bağıntılar yardımıyla istenen parametreyi bulabilme
Kök ve katsayılar arasındaki bağıntıları özdeşliklerde kullanabilme
Katsayıları köklerinden oluşan denklemlerin köklerini bulabilme
İki denklemin kökleri arasındaki bağıntı bilindiğinde denklemlerden biri üzerinden diğerini elde edebilme
Çözümünde ikinci dereceden denklemle karşılaşılan problemleri çözebilme


İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler çözümleri , Polinomların çarpımı yada bölümü şeklinde biçimindeki denklemlerin çözümü , yardımıcı bilinmeyen kullanılarak çözülebilen denklemler , Köklü denklemlerin çözümü ,mutlak değer içeren denklemlerin çözümü , İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar,Kökleri verilen ikinci dereceden denklemi bulma ,köklerin varlığının ve işaretinin incelenmesi , iki bilinmeyenli denklem sistemleri ,ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler , ikinci dereceden fonksiyonlar , fonksiyon grafikleri bulunmaktadır.

Logaritma konu anlatımı
f(x) = y = ax üstel fonsiyonunun tersini bulamaya çalıştığımızda x ile y nin yerini değiştirirsek x = ay olur . Bu fonksiyonda y =logax fonksiyonu y=ax fonksiyonun tersi olur.

  Logartima Fonksiyonu
Üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logartima fonsiyonu denir (nedir).
Logaritma fonksiyonu modellemede ve bir çok problemlerin çözümünde kullanılır. Örneğin belli bir oranda belirli sürelerde veya sürekli olarak faiz almak üzere bileşik faize yatırılan parayı iki katına çıkarmak için gerekli olan süreyi bulmak için kullanılır. Bu üslü denklemin çözümünü gerektirir ve logaritma bu işlemde önemli rol oynar.
  a > 0 ve a≠1 olmak üzere y =logax fonsiyonunda y € R sayısına x € R+ sayısının  a tabanına göre logaritması denir. " y eşit a tabanına göre logaritma x " diye okunur.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi üstel fonksiyonları görüntü kümesi olan pozitif reel sayılar iken görüntü kümesi üstel fonksiyonları tanım kümesi olan bütün reel sayılardır.

Logartima Fonksiyonun Grafiği
Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonların tersi olduğuna göre logaritma fonksiyonu da birebir ve örten fonksiyondur; çünkü logaritma fonksiyonunun tersi de üstel bir fonksiyondur. O halde, logaritma fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi tanım kümesindeki bütün elemanlar için ya artan ya da azanaln bir eğilim gösterir. Bir fonksiyonun ile bu fonksiyonunun ters fonksiyonunun y=x doğrusuna göre simetrik olalcağını biliyoruz.
O halde, y=logax fonksiyonunun grafiği y=ax fonksiyonunun grafiğinin y=x doğrusuna göre simetiği olan grafiktir.

Konunun devamında logaritma fonksiyonun grafiği , logaritma fonksiyonun özellikleri ,taban değiştirme , (e logaritma) doğal logaritma , onluk logartima  , Logartima çözümlü soruları ve konu değerlendirme soruları blunmaktadır.

Olasılık konu anlatımı
Olasılık , temel bilimler , sosyal bilimler , ekonomi ve istatistik gibi alanlarda ve çeşitli mesleklerde , şans oyunlarında bi biçimde kullanılmaktadır. Bunlara ek olarak , günlük yayamımızda farkında olarak yada olamayarak kullanmaktayız.
Deney ; Araştırmacının gözlem yapmasına veya sonuçlar elde etmesine yarayan işleme denir (nedir).
Çıktı; Bir deneyin veya olayın sonucuna çıktı denir.
Olay;Bir deneyin sonuçlarından oluşan herhangi bir topluluğa olay denir(nedir).

Örnek uzayın bütün alt kümelerinin kümesinden [0,1] aralığına tanımlanan ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan her P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu ve A ⊂ E olayının P(A) görüntüsüne A nın olasılık’ı denir.
1.durum
O1: A⊂ E ise 0≤ P(A)≤ 1
O2: P(E)=1
O3: A ∩ B=Ø ise P(A ∪ B)=P(A)+P(B)

2. durum
P(Ø)=0
A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B)
P(A ∪ B)=P(A)+P(B)- P(A ∩ B)
P(A')=1- P(A)

Eş olumlu örnek uzay
E={a1,a2,…,an} için P(a1)=P(a2)=…=P(an) ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzayı denir.
P(A)=s(A)/s(E)

Koşullu Olasılık
A olayının, bir diğer B olayına koşullu olasılığı (veya B biliniyorken A'nın olasılığı), P(A | B) olarak tanımlanır;
P(A|B)=P(A ∩ B) / P(B)

Konunun devamında örneklem uzay , örneklem nokta , olasılık fonksiyonu , eş olumlu örneklem uzay , olasılık formülü-formülleri , ayrık ve ayrık olamayan olaylar ,bağımlı ve bağımsız olaylar , çözümlü problemleri , olasılık soruları  ve video konu anlatımı bulunmaktadır.