Sizce bu doğru mu?

Bir formül için P(1) yazılır, sonuç bulunur ve doğru kabul edilir.
Aynı formül için P(k) yazılır ve doğru olduğu varsayılır.
Son olarak P(k+1) yazılarak üstteki doğru kabul edilen durumun ispatı sağlanır. Yani formülün her reel pozitif sayı için geçerliliği kanıtlanmış olur.

Öğretmenimiz bu durumlar altında bize şunu ispatladı:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3

P(1)=2
P(k)=k.(k+1).(k+2)/3
P(k+1)=(k+1).(k+2).(k+3)/3

P(k)=1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1).(k+2)+(k+1).(k+2)=k.(k+1).(k+2)/3+(k+1).(k+2)

=>(k+1).(k+2).(k+3)/3 geliyor. Yani ispat yapıldı.

Burası bittiğinde ben eğitim fakültesi mezunu olan öğretmenimize şunu sordum:

"Hocam, aynı şey 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+n.(n+1).(n+2) için olsaydı sonuç n.(n+1).(n+2).(n+3)/4 çıkar mıydı?"

Öğretmenim, bu konuda bilgisi olmadığını, üniversitede öyle bir ispat öğrenmediklerini söyledi. Bunun üzerine ben yarım saatimi bu işe ayırdım ve söylediğim formülün doğruluğunu ispatladım. Bunun diğer sayılar için de aynı olacağını varsayarak şöyle bir genel formül yarattım:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3 için,

Her grupta çarpılan terim sayısı: a (Yukarıdaki formüle göre => 2)
Son çarpım grubunun ilk terimi (veya terimleri): x (Yukarıdaki formüle göre => n)
Son çarpım grubunun son terimi: y (Yukarıdaki formüle göre => (n+1))

(a, x, y pozitif reel sayılar)

olmak üzere pozitif her reel sayı için;

x.(x+1).....(x+a-1).(y+1)/(a+1) formülü geçerlidir. (Noktalı kısma gelecek çarpım grubu sayısı: a)

Tam olarak bir formül olmadığının farkındayım. Ancak böyle bir genelleme yaptım ve aklımda tutmanın çok kolay bir yolunu buldum. İzlediğim yolla diğerleri için de böyle genel bir formül yaratabileceğimi farkettim. Şimdi sormak istediğim bazı şeyler var. Ben yaptığım işin doğruluğundan eminim ancak böyle bir şey var mı? İspatı yapılıyor mu? Veya buna benzer bir genel formül yazılmış mı şu ana kadar? Bileniniz varsa bana açıklayabilir mi?