Natalie Mars Sizce bu doğru mu? Natalie Mars
  Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!
5 Aralık 2008

Facebookta paylaş

Tümevarım konusundaki formüllerden birinin genellemesi gibi bir şey. Ben buna Ardışık Çarpımların Genel Toplam Formülü dedim. :) Ben lise 3 öğrencisiyim. Tümevarım konusunu işlemeye başladık. Bu konuda öğretmenimiz bize 11 tane formül ve bunların ispatlarını verdi. Bu formüller, sayıların toplanması, çarpılması gibi işlemlerle ilgili. Örneğin; 1.2.3...n=n! gibi. Şimdi gelelim benim size göstermek ve danışmak istediğim şeye. Ama ondan önce şunu göstereyim.

Bir formül için P(1) yazılır, sonuç bulunur ve doğru kabul edilir.
Aynı formül için P(k) yazılır ve doğru olduğu varsayılır.
Son olarak P(k+1) yazılarak üstteki doğru kabul edilen durumun ispatı sağlanır. Yani formülün her reel pozitif sayı için geçerliliği kanıtlanmış olur.

Öğretmenimiz bu durumlar altında bize şunu ispatladı:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3

P(1)=2
P(k)=k.(k+1).(k+2)/3
P(k+1)=(k+1).(k+2).(k+3)/3

P(k)=1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1).(k+2)+(k+1).(k+2)=k.(k+1).(k+2)/3+(k+1).(k+2)

=>(k+1).(k+2).(k+3)/3 geliyor. Yani ispat yapıldı.

Burası bittiğinde ben eğitim fakültesi mezunu olan öğretmenimize şunu sordum:

"Hocam, aynı şey 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+n.(n+1).(n+2) için olsaydı sonuç n.(n+1).(n+2).(n+3)/4 çıkar mıydı?"

Öğretmenim, bu konuda bilgisi olmadığını, üniversitede öyle bir ispat öğrenmediklerini söyledi. Bunun üzerine ben yarım saatimi bu işe ayırdım ve söylediğim formülün doğruluğunu ispatladım. Bunun diğer sayılar için de aynı olacağını varsayarak şöyle bir genel formül yarattım:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3 için,

Her grupta çarpılan terim sayısı: a (Yukarıdaki formüle göre => 2)
Son çarpım grubunun ilk terimi (veya terimleri): x (Yukarıdaki formüle göre => n)
Son çarpım grubunun son terimi: y (Yukarıdaki formüle göre => (n+1))

(a, x, y pozitif reel sayılar)

olmak üzere pozitif her reel sayı için;

x.(x+1).....(x+a-1).(y+1)/(a+1) formülü geçerlidir. (Noktalı kısma gelecek çarpım grubu sayısı: a)

Tam olarak bir formül olmadığının farkındayım. Ancak böyle bir genelleme yaptım ve aklımda tutmanın çok kolay bir yolunu buldum. İzlediğim yolla diğerleri için de böyle genel bir formül yaratabileceğimi farkettim. Şimdi sormak istediğim bazı şeyler var. Ben yaptığım işin doğruluğundan eminim ancak böyle bir şey var mı? İspatı yapılıyor mu? Veya buna benzer bir genel formül yazılmış mı şu ana kadar? Bileniniz varsa bana açıklayabilir mi?

avatar
deu imt mehmet 7 Ağustos 2011 19:30 | Ziyaretçi
evet yöntemin doğru böyle bir kural var.
   
avatar
gereksizyorumcu 1 Ağustos 2010 21:11 | Yazar
sayın akifsivri'nin düzeltmesinden sonra toplama bakarsak

a!/0!+(a+1)!/1!+(a+2)!/2!+...+(a+k-1)!/(k-1)! olduğunu görürüz.

toplamımızı a! ile çarpıp bölersek
a!*(C(a,0)+C(a+1,1)+C(a+2,2)+...+C(a+k-1,k-1)) elde edilir.

kısa bir inceleme sonunda parantezin içinin C(a+k,k-1) olduğunu görebiliriz.(baştan başlanıp ikişerli olarak toplanırsa görülebilir) 
a!*C(a+k,k-1) ifadesini açık yazarsak
a!*(a+2)*(a+3)*(a+4)*...*(a+k)/(k-1)!
=(a+k)!/((k-1)!*(a+1))
bunun da aradığımız
k*(k+1)*(k+2)*...*(k+a)/(a+1) formülü olduğu açıkça görülmekte 
   
avatar
prohasan 17 Eylül 2009 16:03 | Üye
üye olmadan önce bu soruyu gördüm 3 gün boyunca çalıştım ispat doğrudur.
   
avatar
bhr 9 Haziran 2009 23:15 | Üye
yaptığın ispat doğru bu sonuca varılıyor.tebrikler.....
   
avatar
busra_55555 19 Şubat 2009 20:11 | Üye
öğretmenini tebrik etmek gerek ...............  ben üniverste 2 öğrencisiyim cerrahpaşadan
bu ispatları biliyorum ama dediğini biraz daha açarsan sevinirim aklıma başka şeyleerde geldi çünkü
   
avatar
akifsivri 30 Aralık 2008 23:42 | Üye
1.2.3.....a    +   2.3.4.....(a+1)  +  3.4.5....(a+2)  +  ............
...........k(k+1)(k+2)(k+3)(k+a-1)=k(k+1)(k+2)(k+3)...(k+a)/a
sanırım kastetdiğin formülleme bu ispatlaması sana kolay gelsin
   
avatar
damci_80 25 Aralık 2008 19:21 | Üye
slm bende lise 4 öğrencisiyim matematiği çok seviyorum ve durmadan ispat yapıyorum. ve senin bu konuyuda ele alıp inceleceyim. inşallah bir cevap bulabilirim.
   
avatar
phoenix13y 19 Aralık 2008 17:17 | Üye

bencede senın dızı yanlıs olmus
1.2.3+2.3.4+....+n.(n+1).(n+2)=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4   dıye bır formulu ben ogrencılerıme verıyorum
bu sekılde yaparsan dogru olur

   
avatar
elvancan19 16 Aralık 2008 22:54 | Üye
peano aksiyomları...
   
avatar
ulasbayram 15 Aralık 2008 23:25 | Üye
n.(n+1).(n+2) genel terimi ise dizi şöyle olmaz mı;
1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)
sanırım öğretmenine eksik sormuşsun.

tümevarım matematik için temel konulardan biri.
doğal sayıların kurulumunda bile kullanılıyormesela.
bence biraz daha araştır çünkü güzel ispatlar var.
belki lise kitaplarında bulamazsın ama
üniversitelerin matematik bölümlerinde gösteriliyor.
oralardan ders notu ve çeşitli sorular elde edebilirsin.
kolay gelsin diyelim bakalım.:)
   

Zorunlu

Zorunlu