Tümevarım konusundaki formüllerden birinin genellemesi gibi bir şey. Ben buna Ardışık Çarpımların Genel Toplam Formülü dedim. :) Ben lise 3 öğrencisiyim. Tümevarım konusunu işlemeye başladık. Bu konuda öğretmenimiz bize 11 tane formül ve bunların ispatlarını verdi. Bu formüller, sayıların toplanması, çarpılması gibi işlemlerle ilgili. Örneğin; 1.2.3...n=n! gibi. Şimdi gelelim benim size göstermek ve danışmak istediğim şeye. Ama ondan önce şunu göstereyim.
Bir formül için P(1) yazılır, sonuç bulunur ve doğru kabul edilir.
Aynı formül için P(k) yazılır ve doğru olduğu varsayılır.
Son olarak P(k+1) yazılarak üstteki doğru kabul edilen durumun ispatı sağlanır. Yani formülün her reel pozitif sayı için geçerliliği kanıtlanmış olur.
Öğretmenimiz bu durumlar altında bize şunu ispatladı:
1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3
P(1)=2
P(k)=k.(k+1).(k+2)/3
P(k+1)=(k+1).(k+2).(k+3)/3
P(k)=1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1).(k+2)+(k+1).(k+2)=k.(k+1).(k+2)/3+(k+1).(k+2)
=>(k+1).(k+2).(k+3)/3 geliyor. Yani ispat yapıldı.
Burası bittiğinde ben eğitim fakültesi mezunu olan öğretmenimize şunu sordum:
"Hocam, aynı şey 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+n.(n+1).(n+2) için olsaydı sonuç n.(n+1).(n+2).(n+3)/4 çıkar mıydı?"
Öğretmenim, bu konuda bilgisi olmadığını, üniversitede öyle bir ispat öğrenmediklerini söyledi. Bunun üzerine ben yarım saatimi bu işe ayırdım ve söylediğim formülün doğruluğunu ispatladım. Bunun diğer sayılar için de aynı olacağını varsayarak şöyle bir genel formül yarattım:
1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3 için,
Her grupta çarpılan terim sayısı: a (Yukarıdaki formüle göre => 2)
Son çarpım grubunun ilk terimi (veya terimleri): x (Yukarıdaki formüle göre => n)
Son çarpım grubunun son terimi: y (Yukarıdaki formüle göre => (n+1))
(a, x, y pozitif reel sayılar)
olmak üzere pozitif her reel sayı için;
x.(x+1).....(x+a-1).(y+1)/(a+1) formülü geçerlidir. (Noktalı kısma gelecek çarpım grubu sayısı: a)
Tam olarak bir formül olmadığının farkındayım. Ancak böyle bir genelleme yaptım ve aklımda tutmanın çok kolay bir yolunu buldum. İzlediğim yolla diğerleri için de böyle genel bir formül yaratabileceğimi farkettim. Şimdi sormak istediğim bazı şeyler var. Ben yaptığım işin doğruluğundan eminim ancak böyle bir şey var mı? İspatı yapılıyor mu? Veya buna benzer bir genel formül yazılmış mı şu ana kadar? Bileniniz varsa bana açıklayabilir mi?
Aynı formül için P(k) yazılır ve doğru olduğu varsayılır.
Son olarak P(k+1) yazılarak üstteki doğru kabul edilen durumun ispatı sağlanır. Yani formülün her reel pozitif sayı için geçerliliği kanıtlanmış olur.
Öğretmenimiz bu durumlar altında bize şunu ispatladı:
1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3
P(1)=2
P(k)=k.(k+1).(k+2)/3
P(k+1)=(k+1).(k+2).(k+3)/3
P(k)=1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1).(k+2)+(k+1).(k+2)=k.(k+1).(k+2)/3+(k+1).(k+2)
=>(k+1).(k+2).(k+3)/3 geliyor. Yani ispat yapıldı.
Burası bittiğinde ben eğitim fakültesi mezunu olan öğretmenimize şunu sordum:
"Hocam, aynı şey 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+n.(n+1).(n+2) için olsaydı sonuç n.(n+1).(n+2).(n+3)/4 çıkar mıydı?"
Öğretmenim, bu konuda bilgisi olmadığını, üniversitede öyle bir ispat öğrenmediklerini söyledi. Bunun üzerine ben yarım saatimi bu işe ayırdım ve söylediğim formülün doğruluğunu ispatladım. Bunun diğer sayılar için de aynı olacağını varsayarak şöyle bir genel formül yarattım:
1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3 için,
Her grupta çarpılan terim sayısı: a (Yukarıdaki formüle göre => 2)
Son çarpım grubunun ilk terimi (veya terimleri): x (Yukarıdaki formüle göre => n)
Son çarpım grubunun son terimi: y (Yukarıdaki formüle göre => (n+1))
(a, x, y pozitif reel sayılar)
olmak üzere pozitif her reel sayı için;
x.(x+1).....(x+a-1).(y+1)/(a+1) formülü geçerlidir. (Noktalı kısma gelecek çarpım grubu sayısı: a)
Tam olarak bir formül olmadığının farkındayım. Ancak böyle bir genelleme yaptım ve aklımda tutmanın çok kolay bir yolunu buldum. İzlediğim yolla diğerleri için de böyle genel bir formül yaratabileceğimi farkettim. Şimdi sormak istediğim bazı şeyler var. Ben yaptığım işin doğruluğundan eminim ancak böyle bir şey var mı? İspatı yapılıyor mu? Veya buna benzer bir genel formül yazılmış mı şu ana kadar? Bileniniz varsa bana açıklayabilir mi?
Bu yazı, Sizden gelenler kategorisinde yer almaktadır.
Forumdan son konular
Etiketler
matematik soruları matematik özel ders istanbul özel matematik dersi Matematik kpss matematik soruları matematik nedir matematik yazılı soruları matematik konu anlatımı kredi hesaplama programı matematik oyunu e devlet e devlet şifremi unuttum e devlet şifresi pi sayısı altın oran
Blog Etiketleri Forum Etiketleri
Blog Etiketleri Forum Etiketleri