[corpix]

1.x,y∈ N⁺
28!=12^x.y eşitliğini sağlayan kaç farklı y değeri vardır?

2. x,A pozitif tam sayılardır.

72!=72^x.A ifadesinde A 4 ile tam bölündüğüne göre x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?

3. 9! sayısının 8! sayı tabanında yazılmasıyla kaç basamaklı sayı elde edilir?

Çözen arkadaşlara şimdiden teşekürler.

[gereksizyorumcu]

1.
28! içinde kaç tane 12=2².3 çarpanı olduğu bulunur.
28:2=14:2=7:2=3:2=1 , toplam 1+3+7+14=25 tane 2
28:3=9:3=3:3=1 , toplam 1+3+9=13 tane 3
demek ki kısıtlayıcı olan 2 çarpanı. toplam 25:2=12 tane 12 çarpanı varmış. x=0,1,2,...,11,12 olmak üzere 13 değer alabileceği için y de 13 değer alır.

2.
benzer şekilde 72! içinde 72=2³.3² çarpanlarını ararız.
(n! içinde 2 çarpanlarının sayısı n den , 3 çarpanlarının sayısı da n/2 den biraz azdır, yani burada kısıtlayıcı olan 3 çarpanları olacaktır boşuna uzatmayalım)
72:3=24:3=8:3=2 , toplam 34 tane 3 çarpanı
toplam 34:2=17 tane 72 çarpanı bulunabilirmiş.
2 nin kuvvetleri 51 den oldukça fazla olacağından geriye kalan sayının 4 e bölünmesini düşünmemiz gerekmez.
sonuçta x in alabileceği değerler toplamı 1+2+3+...+16+17=17.18/2=153 bulunur.

not: genel halde n! içinde bir p asal çarpanının sayısı n/(p-1) den biraz azdır. geometrik seri toplamı ile görülebilir.

3.
8!<9!=8!.9<(8!)² olduğundan cevap 2 bulunur