1. #1

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    konik, vektör, çember- analitiği

    1
    x²+y²-(k+4)x+(k-4)y=0 çemberinin merkezi x ekseni üzerindeyse r=? (4)

    2
    x-y-4=0 doğrusuna paralel olan birim vektör hangisidir? (1/√2, 1/√2)

    3

    x²+4y²=8 elipsine üzerindeki (2,-1) noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? (x-2y-8=0)

    4
    (x²/8)+(y²/b²)=1 elipsi ile y=-x+4 doğrusu teğetse yedek eksen uzunluğu kaç birimdir? (4√2)

    5
    2x²+3y²=12 elipsinin y=4x-2 doğrusuna paralel teğetlerinin denklemleri nedir?

    6

    x²+2y²=2 elipsine K(0,3) noktasından çizilen teğetlerden birinin denklemi nedir? (y=2√2x+3)

    7


    merkezil elipsin asal eksen uzunluğu 4√3 birim ve yedek eksen uzunluğu 2 birimdir. Elipsin y=-2x dorusuna paralel teğetlerinden birinin x eksenini kestiği noktanın apsisi kaç olabilir? (7/2)

    8
    (x²/8)+(y²/2)=1 elipsi ile y=2x+n doğrusu teğetse n hangisi olabilir? (√34)
    (y değerini elips denkleminde yerine yazdığımızda n ye ulaşabiliyoruz. Bu soruyu türevle nasıl çözeriz, onu merak ettim. 3. bir yol da var mıdır?)

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    1) Merkezi (a,b) yarıçapı r olan çemberin denklemi
    (x-a)²+(y-b)²=r² yani x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0 olduğunu biliyoruz.
    Merkezi x ekseni üzerinde olan çember için merkez M(a, 0) şeklinde bir noktadır. Yani b=0 olmalıdır. Bu durumda çember denkleminde y² dışında y li terim olmamalıdır.

    Verilen denkleme göre merkez x ekseni üzerinde ise k=4 olmalıdır.
    Bu durumda çember denklemi x²+y²+8x=0 olur. Tam kareye tamamlayarak
    x²+8x+16+y²=16
    (x+4)²+y²=16 elde edilir.
    M(-4, 0) ve r=4 tür.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    2) ax+by+c=0 doğrusu v=(a, b) vektörüne diktir. v vektörüne dik olan vektörler doğruya paralel olacaktır. u=(-b, a) veya u=(b, -a) vektörleri v ye dik olduğuna göre bu vektörler ve bu vektörlerin sıfırdan farklı her katı ax+by+c=0 doğrusuna paraleldir. Aslında bu iki vektör de biribirinin -1 katıdır.

    x-y-4=0 doğrusuna dik olan vektör v=(1, -1) yönündedir. Bu doğruya paralel olan vektör u=(1,1) veya bunun herhangi bir katıdır. Aradığımız birim vektör için bu vektörü kendi boyuna bölmeliyiz. |u|=√2 olduğuna göre
    (1/√2, 1/√2) vektörü verilen doğruya paralel bir birim vektördür.

    NOT: (-1/√2, -1/√2) vektörü de verilen doğruya paralel bir birim vektördür.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    3) Verilen elips denkleminin x'e göre tüverini alalım. (Tabii y=y(x) şeklinde bir fonksiyon olarak kabul ederek)

    2x+8y.y'=0

    x=2, y=-1 için y' ifadesi aradığımızı teğetin eğimidir.

    2.2+8.(-1).m=0 buradan m=1/2 bulunur.

    Eğimi 1/2 olan ve (2,-1) noktasından geçen doğru denklemi y+1=1/2(x-2) dir. Bu da x-2y-4=0 şeklinde yazılabilir. (Cevabınızı kontrol edin lütfen)

    NOT: Birçok kaynak elips veya çember için bu tür teğet denklemlerine formül verirler. Asla o formülleri ezberlemenizi tavsiye etmiyorum. Şu an için türev görmemiş olsanız bile ileride göreceksiniz. Zaten o kitaplarda verilen formüller de türevin uygulamalarından çıkan sonuçlardır.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    4)

    Teğetin değme noktası (a, 4-a) olsun. Bu nokta elips üzerinde olduğuna göre elipsin denklemini sağlar.

    a²/8+(4-a)²/b²=1 olmaldır. ...(I)

    Verilen elips denkleminin x'e göre türevini alalım: 2x/8+2y.y'/b²=0

    (a, 4-a) noktasında çizilen teğetin eğimi m=-1 olduğuna göre son denklemde x=a, y=4-a ve y'=-1 olmalıdır. Buradan

    a/8+(a-4)/b²=0 ... (II) elde edilir.

    (II) ifadesinden b²=8(4-a)/a bulunur. Bunu (I) ifadesinde yerine yazalım: 1=a²/8+(4-a)a/8 ve buradan a=2 buluruz. Dolayısıyla b²=8 olur.

    Yani elips denklemi x²+y²=8 dir. Burada hem asal eksen hem de yedek eksen uzunluğu 4√2 dir.

    Aslında bu elipsin bir çember olduğu açıktır.

    NOT: y=-x+4 doğrusu elipse teğet olduğuna göre elips denkleminde y yerine -x+4 yazarak elde edeceğiniz ikinci dereceden denklemin diskriminantını 0'a eşitleyerek de b değerini bulabilirdiniz.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    5) y=4x-2 doğrusuna paralel doğrular y=4x+b şeklindedir. Bu doğru verilen elipse teğet ise elips denkleminde y yerine 4x+b yazdığımızda elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır.

    2x²+3(4x+b)²=12
    2x²+3(16x²+8xb+b²)=12
    50x²+24bx + 3b²-12=0

    bu ifadenin diskriminantı sıfır olacağından

    (24b)²-4.50.(3b²-12) = 0

    24.24.b²-12.50.b²+4.12.50=0 (her tarafı 12 ye bölelim)
    2.24.b²-50.b²+4.50=0
    2b²=200
    b=10 veya b=-10.

    Yani aradığımız teğetler y = 4x+10 ve y = 4x-10 doğrularıdır.

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    6) K(0, 3) noktasının elipsin üzerinde olmadığına dikkat edelim. (0, 3) noktasından geçen doğrular y=mx+3 şeklindedir. Yine elips denkleminde y yerine mx+3 yazıp diskriminantı sıfıra eşitleyelim:

    x²+2(mx+3)²=2
    (1+2m²)x²+12mx+16=0

    diskriminant = 0 ise

    (12m)²-4.(1+2m²).16=0
    144m²-64(1+2m²)=0
    16m²=64
    m=2 veya m=-2 olur.

    Yani aradığımız teğetler y = 2x+3 ve y = -2x+3 tür. (Cevabınızı kontrol edin lütfen)

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    7) Çizdiğiniz şekle göre asal eksen ve yedek eksen belli olmamakla birlikte biz birini düşünüp yapalım:

    Merkezi orijin olduğuna göre elipsin denklemi x²/a²+y²/b²=1 dir. Eksenlerden birinin uzunluğu 4√3 diğerinin uzunluğu 2 olduğuna göre a ve b sayılarından biri 2√3 diğeri 1 dir. a=2√3 ve b=1 alalım: Bu durumda asal eksenin x ekseni olduğunu kabul etmiş oluyoruz.

    Elips denklemi x²/12+y²=1 dir. Yine aradığımız teğetler y = -2x + b şeklinde olmalıdır. Bunu elipsin denkleminde yerine yazalım:

    x²/12+(-2x+b)²=1
    x²/12+4x²-4bx+b²=1
    49x²/12 - 4bx + b²-1 = 0

    yine diskrimininntı sıfıra eşitleyelim:

    (4b)²-4.49/12.(b²-1)=0
    16b²-49/3.(b²-1)=0
    48b²-49(b²-1)=0
    b²=49
    b=7 veya b=-7 olur.

    Teğetler y = -2x + 7 veya y = -2x - 7 dir. Bu teğetlerin x eksenini kestiği noktaların apsisi x = 7/2 ve x=-7/2 dir.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    8) Bu soruyu en başta okusam belki yukarıda yazdıklarımın bazıları değişebilirdi. Türev biliyoruz yani. Ayrıca yerine koyma dışında şöyle de yapabiliriz.

    Teğetin elipse değme noktası (a, 2a+n) olsun. Teğetin eğimi 2 olduğuna göre türev aldıktan sonra y'=2 olmalıdır.

    Şimdi elips denklemini x²+4y²=8 şeklinde düzenleyip türev alalım:

    2x+8yy'=0

    2a+8(2a+n).2=0
    17a+8n=0
    n=-17a/8 ... (I)

    Ayrıca (a, 2a+n) noktası elipsin üzerinde olduğuna göre a²+4(2a+n)²=8 olur. n yerine -17a/8 yazalım:
    a²+4(2a-17a/8)²=8
    a²+4(-a/8)²=8
    a²+a²/16=8
    17a²=16.8
    34a²=16.16
    a=16/√34 veya a= -16/√34 buluruz.

    Bu durumda

    n=√34 veya n= -√34 olur.

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    Sevgili hocam,
    Çözümlerin her biri çok anlaşılır, çok güzeller... Renklendirme de öyle... Vakit ayırdığınız için varın sağ olun; emeğinize sağlık, aklınıza âfiyet...
    Sizleri çok seviyorum ♥


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. çember analitiği
      utku06, bu konuyu "11. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 08 Nis 2014, 21:06
    2. çember analitiği
      khorkhurt, bu konuyu "11. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 30 May 2013, 15:17
    3. vektör ve konik
      sinavkizi, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 07 May 2013, 18:32
    4. Çember analitiği
      aliriza, bu konuyu "12. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 23 Nis 2013, 12:01
    5. çember analitiği
      ayse_arslan, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 5
      : 14 Nis 2013, 11:57
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları