Fermat asalları ve ilk 9 fermat asalı

Pierre de Fermat, 25 aralık 1640 tarihinde MarinMersenne'e yazdığı mektubunda şöyle diyor:

"Eğer 3,5,17,257,65537sayılarının neden asal sayı olduklarının temel sebebini bulabilirsem, hissediyorum ki son derece ilgi çekici sonuçlara ulaşacağım; çünkü halihazırda harika sonuçlar buldum. Bunlardan size daha sonra bahsedeceğim."

2n+1 yapısındaki sayıların Fermat sayıları olarak adlandırılması bu tarihlere dayanıyor. Bu sayıların içinden asal olanlarına da Fermat asalları deniyor. Burada n, 2 k yapısında bir tam sayı. k≥0 bir tamsayı. Şimdiye kadar bulunmuş Fermat asalları sadece 5 adettir:

n=0 F₀=3
n=1 F₁=5
n=2 F₂=17
n=3 F₃=257
n=4 F₄=65537
Bu sayılar, yukarıdaki alıntıda, Fermat'nınMersenne'e konu ettiği 5 adet sayıdan başkası değildir.
Bu beş adet Ferma asal sayısının dışında Fermat sayılarının içinde başka asal sayıların var olup olmadığı bilinmemektedir ama genel kanı olmadığı yönündedir. 1732 yılında Euler, n=5 için Fermat sayısının asal olmadığını ve 641'in F5'in böleni olduğunu gösterdi. Daha sonraki yıllarda, n≤31 için Fermat sayılarının asal olmadığı gösterildi. Günümüzde, Fermat sayılarının bölenlerini bulma oldukça eğlenceli bir hobi durumunda ve belki binlerce meraklı, evlerindeki bilgisayarlarıyla, bu arayışların parçası oluyorlar.

Fermat sayılarının genelleştirilerek, an+1 (a>2 ve n 2k yapısında) yapısında olursa, yani tabanın 2 yerine 2 den büyük herhangi bir pozitif tam sayı olarak seçilmesi halinde, Genelleştirilmiş Fermat Sayıları tanımlanmış oluyor. Genelleştirilmiş Fermat sayılarının an+bn olarak da tanımlanıyor. Burada n yine 2k yapısında. Bu sayıların asal olanlarına da genelleştirilmiş Fermat asalları deniyor. Günümüzde, Fermat sayıları üzerindeki asıl araştırma ve aramalar bu sayılar üzerinde yürütülüyor. Bu sayıların sayılarının sonsuz olduğu sanılıyor ve bilinen büyük asal sayıların bir çoğu genelleştirilmiş Fermat asalı
https://img707.imageshack.us/img707/4000/matfermat.jpg