Kriptoloji ve modüler aritmatiğin şifrelemedeki kullanımı

Dönem ödevinden:

Bilindiği gibi kriptografi gizli haberleşmeyle ilgili bir bilim dalı. Ağırlıklı olarak matematik biliminin bir dalı. Kriptografi hem mesajların veya bilgilerin şifrelenmesini hem de şifrelerin çözülmesini veya kırılmasını kapsamaktadır.

İki çeşit kriptografi var:

- Konvansiyonel Kriptografi
- Asimetrik Kriptografi

Konvansiyonel kriptografide mesajı veya bilgiyi şifrelemek için bir anahtar (***) kullanılıyor. Aynı anahtar mesajı çözmek veya açmak için de kullanılıyor. Bunun için şu benzetmeyi yapabiliriz. Bir çanta yaptırıyorsunuz içine alıcısına iletmek istediğiniz mesajı koyuyorsunuz ve çantaya bir kilit takıp kitliyorsunuz. Kilidiniz sağlam ise normal yollardan alıcıya yolluyorsunuz. Ancak alıcının çantayı açıp mesajı okuyabilmesi için anahtarın bir kopyasını yaptırıp güvenli yollardan alıcıya yollamanız gerekiyor. Yani aynı anahtar hem mesajı kitliyor hem de açabiliyor. İşte bu konvansiyonel kriptografi.

1970 lerin ortalarında keşfedilen matematiksel bir yöntemle (bunun ana fikrini daha sonra kısaca yazacağım) Şifreli haberleşmek istiyorsanız kendinize bir anahtar (elektronik) yapıyorsunuz bu anahtar mesajları hem şifrelemeye hem de açmaya yarıyor. Bu anahtara İngilizcede private key deniyor. Anlamı kişisel veya gizli anahtar. Bu anahtarı kullanarak bir de açık anahtar (public ***) yaratıyorsunuz. Bu anahtarın yapabildiği ise sadece şifreleme yapmak. Yani bu anahtar kendi şifrelediklerini bile açamıyor. Düşünün ki elinizde bir anahtar var evin kapısını kilitliyor ama açamıyor işte onun gibi bir şey. Açık anahtarın işlevi böyle olunca bu anahtarıın kopyalarını herkese vermenizde bir sakınca olmuyor. Size mesaj gönderecekler mesajı bunla kilitleyip yolluyabiliyorlar ve mesajı ancak elinizdeki gizli veya kişisel anahtarla bir tek siz açabiliyorsunuz.

Görüldüğü gibi bu yeni şifreleme sistemi eski konyvansiyonel sistemden çok farklı. Bu sistem filmlerde gördüğümüz içinde şifrelerin bulunduğu çantayı bileğine bağlı olarak taşıyan adamın işne son verdi.

Peki bu sistem güvenli mi?

Uzmanlara göre hem de çok güvenli. Sıradan bilgisayar kullanıcısının bile ABD gizli servislerinin bile kıramıyacağı şifreleme sistemlerine sahip olması imkanını veriyor.

Gelelim konu başlığında görülen PGP yazılımının ne olduğuna. PGP harfleri İngilizcedeki Pretty Good Privacy kelimelerinin baş harfleri. Anlamı, Oldukça İyi Kişisellik veya Mahremiyet. Yazılımın kodu aslında şüpheciler için açık tutulmuş. Windows ara yüzünü yazan ekip tarafından bu yazılımın şifrelemeye ait kısımlarının ilk versiyonları kitaplardaki kaynak kodların Optik Karakter tanımlayıcılarla (OCR teknolojisi) programa aktarıldığı biliniyor. OCR ile yapılmasının ABD de bazı yasal sebepleri varmış. Bunu bir başka mesajda anlatırım. Yazılımın Dünyada kişisel kullanıma açılmasının öncülüğünü yapan Phil Zimmermann isimli bir amerikalı. Bu PGP yazılımının bir de uluslararası versiyonu var. Bu işe gönül vermiş olanlar tarafından geliştiriliyor ve PGPi olarak biliniyor.

Asimetrik Şifrelemenin matematiksel esası
Matematikten hatırlayacağınız üzere çarpma yapmak, sayıları çarpanlara ayırmaktan daha kolaydır. Bu sistemin esası çok büyük iki asal sayı tutmanız ve bunları çarpmanız esasına dayanıyor. Her ne kadar bilgisayarlarda bu şifreleme sistemi ikilik (binary) sayı sistemi ile çalışıyorsa da ben basitçe bildiğimiz onluk sistem ile anlatayım. Rasgele çok büyük örneğin her biri 150 veya 250 haneli iki sayı tutuyorsunuz (tek sayı - çünkü 2 den başka tüm asal sayılar tektir). Sonra bunları asal sayı olup olmadıklarına dair matematiksel test uyguluyorsunuz.

Matematikte sayı teorisinde böyle teknikler mevcut. Test başarısız olursa o sayıyı bırakıp bir başka sayıya test uyguluyorsunuz. Matemetiksel test bu sayının asal olup olmadığı konusunda tam bir güvence vermiyor ancak verdiği güvence o kadar yüksek ki neredeyse yüz de yüz güvence olarak düşünülebilir. Örneğin verdiği güvence yüzde 99.999....999 gibi; yani noktadan sonra 30 tane 9 var gibi bir şey. İşte böyle elde ettiğiniz birbirinden farklı iki asal sayıyı isterseniz elle bile çarpabilirsiniz. Ancak çok vaktinizi alır. Bunun yerine program çarpıyor ve size verdiği çarpım sizin açık anahtarınızın esası oluyor. Kişisel anahtar ise sadece sizin bildiğiniz bu iki asal sayı.

Şunu sorabilirsiniz. Çarpımı bilen açık anahtar sahibi, sayıyı iki asal çarpanına ayırarak kişisel anahtarı öğrenemez mi? Öğrenemiyor çünkü Dünyanın en güçlü bilgisayarları bile bugüne kadar iki asal çarpandan oluşan 150 veya daha az haneli sayıları ancak günlerce çalışmayla çarpanlarına ayırabiliyor. Merak edenler Internetten araştırabilir. Matematikçilerin dediğine göre 450 - 500 haneli sayıları çarpanlarına ayırmak bugünkü matematik bilgisi ve bilgisayar teknolojisiyle bile milyarlarca yıl sürer. Özetle bu teknoloji çok sağlam gözüküyor.
Gelelim şifrelemenin nasıl olduğuna. Her şey ikilik sayı sisteminde yürüyor. Mesajınız veya dokümanınız (plain text) bilgisayarda ikilik sayı sisteminde saklanıyor. Burada detaylarını vermeyeceğim Modüler Aritmetik işlemleriyle mesaj yeni bir sayı serisine dönüştürülüyor. Tabii bunun için asal sayıların çarpımı yani açık anahtar kullanılıyor. Buna şifreli mesaj (ciphertext) deniyor ve şifrelenen mesaj eğer orijinali (plain text) silinmişse hiç bir şekilde açık anahtarla geri elde edilemiyor. Kişisel anahtarı elinde bulunduran elindeki asal sayı çiftini kullanarak ve modüler aritmetik işlemlerini kullanarak orijinal mesajı tekrar elde edebiliyor.

Eğer iki kişi sizlerden iki kişi diyelimki Ankara’da Ali(A) ve Bursa’da Behçet(B) gizli bir şekilde haberleşmek isterse, sözgelimi ticari önemi olan keşifleri hakkında haberleşmek isterse her biri birer çift anahtar hazırlıyor. Yani birer çift açık ve kişisel anahtar. Açık anahtarları değiş tokuş ediyorlar. Bunu gizli yapmalarına gerek yok. Anahtarları disketle veya e-maille yollayabilirler. Hatta kendilerine mesaj yollamak isteyen diğer pek çok kişiye de verebilirler. Adı üstünde açık anahtar. Daha sonra Ali Behçet’e yollayacağı mesajları Behçet’in açık anahtarıyla şifreliyor ve güvenlik korkusu olmadan Behçet’e yolluyor, diskette veya e-mail ile. Yolda e- mail başkalarının eline geçse bile, ele geçiren bunu açamıyor. Behçet kendi kişisel anahtarıyla Ali’den gelen mesajı rahatlıkla açabiliyor. Behçet Ali’ye mesaj yollamak istediğinde ise ne olduğunu anlatmama gerek yok sanırım.

PGP’nin ana çalışma şekli böyle olmakla birlikte daha pek çok ayrıntısı var. İşin içine mesajların ziplenmesi ayrıca önden konvansiyonel şifre ile şifrelenmesi gibi işler de giriyor. Bunları da daha sonra yazacağım.

Internette yaptığım bir araştırmada pek çok kişinin bu sisteme güvenmediği ve kırılamıyacak şifre yoktur gibi mesajlar yazdıklarını gördüm. Evet sizin bilgisayarınıza virüs, trojan, Cookie, *** logger veya screen logger yollayarak şifreli mesajınızı ele geçirebilirler. Ancak bunların hepsi hırsızlık yöntemidir. Sizin cebinizden arabanın anahtarını çalıp bir kopyasını yaptırıp arabanızı çalmalarına benzetilebilir. Burada anlatmaya çalıştığım şifrenizin kırılıp kırılamıyacağıdır. Yani matematiksel yöntemlerle şifrenin kırılıp kırılamıyacağı. Uzmanların dediğine göre kırılamıyor. Eğer bazılarının virüs vs. vasıtasıyla bilgisayarınıza girebileceklerinden endişe ediyor ve haberleşmede ilettiğiniz bilgilerin güvenliği sizin için çok önemliyse, iki bilgisayar kullanabilirsiniz. Biri internete bağlı olmaz, anhtarlar orada durur, şifrelemeyi ve şifre açmayı orada yaparsınız. yollayacağınız mesajı orada şifreler daha sonra disket veya flash disk ile Internete bağlı bilgisayara aktarır ondan sonra yollayabilirsiniz.

Bu işin güvenlikle ilgili daha pek çok ayrıntısı var.

Yazının devamı burada. ve burada