46 yolcu kapasiteli bir tur otobüsü yolcularını alarak tam kapasiteyle tur gezisine çıkıyor. yolculuk esnasında nalan ile selin bahse tutuşur: EĞER TUR DÖNÜŞÜNDE BİR TEK YOLCU DAHİ TURA GİDİŞTE OTURDUĞU KOLTUK NUMARASINA OTURURSA,YANİ BAŞKA DEYİŞLE BİR YOLCU HEM TUR GİDİŞİ HEM DE TUR DÖNÜŞÜ AYNI KOLTUKTA SEYAHAT EDERSE BAHSİ SELİN KAZANACAKTIR. olasılık teorisi sizce selin'e ne kadar yardımcı olacak? (Not: bahsin geçerli olması adına Nalan ve Selin in dönüşte farklı koltuk numaralarını seçeceklerini unutmayalım ve diğer tüm yolcuların dönüşte koltuk tercihlerini rasgele yaptıklarını düşünelim.) kolay gelsin..

Burada 46 kişinin tekrar aynı koltuğa ortrması olasılığını düşünürsek düşük bir olasılık fakat nalan ve selinin aynı koltuğa oturmamalarından dolayı olasılık ilk olana göre daha fazla artar olasılığın artması gerçeğe yaklaştırır.

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

Burada 46 kişinin tekrar aynı koltuğa ortrması olasılığını düşünürsek düşük bir olasılık fakat nalan ve selinin aynı koltuğa oturmamalarından dolayı olasılık ilk olana göre daha fazla artar olasılığın artması gerçeğe yaklaştırır.

---

duygu95, soruda anladığıma göre bir tek yolcu dahi dönüşte aynı koltuğa oturursa bu bahsin kazanılması içn yeterli. yani herkes dönüştede aynı koltuğa oturmak zorunda değil.

Ben şu şekilde düşünmüştüm 46 kişiden 1 kişinin mi aynı koltuğa oturma olasılığı fazla ilk önce hiç kimse hakkında bir şey bilmediğimizi düşünürsek 46 kişinin herhangi birinin aynı koltuğa oturma olasılığı çok düşük bir olasılık fakat sonraki düşündüğümüz de 46 kişiden 2 kişinin aynı koltuğu seçmeyeceğini biliyoruz buda aynı koltuk olma şansını daha da artırmaz mı

Newtonun 3 kapı problemine benziyor mu bu soru ben benzettim biraz

olasılığı düşük gibi görünsede aslında selinin bahsi kazanma ihtimali yüksek. ben buna benzer bir soruyu Adam FAWER in olasılıksız kitabında okudum. şöyle geçiyor olay: hoca yanılmıyorsam 60 küsür kişilik sınıfa giriyor ve bir öğrencisine soruyor: SENCE BU SINIFTA DOĞUM GÜNLERİ AYNI OLAN İKİ KİŞİNİN BULUNMA OLASILIĞI NEDİR ? Öğrenci bunun oldukça düşük bir ihtimal olduğunu söylesede hoca tahtada yağtığı hesap ile bunun aslında yüksek bir olasılık olduğunu gösteriyor. ve gerçektende o sınıfta doğum günleri aynı olan iki öğrencinin bulunduğunu ortaya çıkarıyor. öğrencilere tek tek sorarak tabi:)

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

Burada 46 kişinin tekrar aynı koltuğa ortrması olasılığını düşünürsek düşük bir olasılık fakat nalan ve selinin aynı koltuğa oturmamalarından dolayı olasılık ilk olana göre daha fazla artar olasılığın artması gerçeğe yaklaştırır.

---

Gerçeğe yaklaşmasından dolayı Selinin bahsi kazanma olasılığı daha yüksek olur diye düşünüyorum..

Alıntı:

---

matera'den alıntı

olasılığı düşük gibi görünsede aslında selinin bahsi kazanma ihtimali yüksek. ben buna benzer bir soruyu Adam FAWER in olasılıksız kitabında okudum. şöyle geçiyor olay: hoca yanılmıyorsam 60 küsür kişilik sınıfa giriyor ve bir öğrencisine soruyor: SENCE BU SINIFTA DOĞUM GÜNLERİ AYNI OLAN İKİ KİŞİNİN BULUNMA OLASILIĞI NEDİR ? Öğrenci bunun oldukça düşük bir ihtimal olduğunu söylesede hoca tahtada yağtığı hesap ile bunun aslında yüksek bir olasılık olduğunu gösteriyor. ve gerçektende o sınıfta doğum günleri aynı olan iki öğrencinin bulunduğunu ortaya çıkarıyor. öğrencilere tek tek sorarak tabi:)

---

bu işlemi bence şöyle yapmıştır eğer öğrenci 60 kişilik sınıfın içindeyse kimnle aynı günde doğduğunu bilebilir o zaman olasılık ilk olana göre artar bu soru gibi ondada olasılık yüksektir ve hesaplanabilir diye düşünüyorum.

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

bu işlemi bence şöyle yapmıştır eğer öğrenci 60 kişilik sınıfın içindeyse kimnle aynı günde doğduğunu bilebilir o zaman olasılık ilk olana göre artar bu soru gibi ondada olasılık yüksektir ve hesaplanabilir diye düşünüyorum.

---

duygu95 öğrencilerin birbirlerinin doğum günleri hakkında hiçbir fikirleri yoktu. ok?

adam faberin bahsettiği olasılık çok meşhur bir olasılık olayıdır. orda sınıfın 60 gibi yüksek olması bile gerekmiyor, bende şuanda tam hatırlamıyorum, ama sanırım sınıf mevcudu 23 olduğunda bile, iki kişinin aynı doğum günene sahip olması, herkesin farklı doğum günlerine sahip olmasından daha yüksek çıkıyor, mantıksız gibi gelsede bu ispatlanabilir bir olasıktır.

soruyu çözmedim ama eğer Nalan ve Selin de işin içinde olsaydı yani direkt 46 kişi için sorulmuş olsaydı soru şaşkın dizilimlerin oranı olurdu ve 1/e ye çok yakın olurdu yani %37 gibi birşey
en az 1 kişinin kendi yerinde oturması durumu da %63 gibi bir ihtimal olurdu ki en az bir kişi aynı koltuğunda döner diyenin şansı diğerinin nerdeyse 2 katı olur.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

soruyu çözmedim ama eğer Nalan ve Selin de işin içinde olsaydı yani direkt 46 kişi için sorulmuş olsaydı soru şaşkın dizilimlerin oranı olurdu ve 1/e ye çok yakın olurdu yani %37 gibi birşey
en az 1 kişinin kendi yerinde oturması durumu da %63 gibi bir ihtimal olurdu ki en az bir kişi aynı koltuğunda döner diyenin şansı diğerinin nerdeyse 2 katı olur.

---

hocam bu sonuçları size zahmet olmazsa biraz açarmısınız?

Nalan ve Selin'i ayırmadan çözüm yapalım benzer mantıkla onlar için de çözüm yapılabilir;

46 kişi 46! şekilde dizilebilir
bunlardan bir kişinin kendi yerine oturduklarını çıkaralım -C(46,1).45!
artık 2 kişinin kendi yerine oturduklarını eklememiz gerekir +C(46,2).44! (eklemeliyiz çünkü 1 kişinin oturduklarını sayarken fazladan çıkarmışızdır)
3 kişinin oturduklarını tekrar çıkarmalıyız -C(46,3).43!
...
46 kişinin de kendi yrine oturduklarını ekleriz +C(46,46).1!

bu işlemin sonucunu tüm durumların sayısına yani n! e böldüğümüzde e^-x in x=1 için seri açılımını elde etmiş oluruz yani bu toplamın değeri 1/e ye çok çok yakındır. (sonuçta 46 terim açınca neredeyse aynıdır bil diyebiliriz)

hiçkimsenin oturmadığı durumların ihtimali 1/e
en az bir kişinin kendi yerinde döndüğü durumların ihtimali de 1-1/e ye çok yakın bir değer olur bunlar da sırasıyla %36,78 ve %63,22 civarında ediyor.

teşekkürler hocam zahmet verdim, kusura bakmayın

sayın gereksizyorumcu belirttiğiniz gibi;
burada işin içinde Selin ve Nalan yok...
bu durumda;
1) Nalan ve Selin'in dönüşte, geliş için kullandıkları koltukları kullanmayacaklarını biliyoruz. bu da otomatik olarak onların gelişte kullandıkları koltukları başka iki kişinin kullanacağı anlamına gelir ki bu durumdada yine otomatik olarak iki kişi elenir. çünkü bu iki kişi gelişte bu koltuklarda oturmamışlardı!! :) (yani olasılık olarak bu durum Nalan'ın lehinedir)
2) Nalan ve Selin'in dönüşte kullandıkları koltuklar gelişte herhangi iki kişinin koltuklarıydı. bu durumda bu iki kişi içinde artık aynı koltukta seyahat etme şansı kalmamıştır. yani sonuç olarak; nalan ve selin in dönüş için farklı koltukları seçmeleri toplamda 4 kişinin aynı koltukta seyahat etme şansını elinden almaktadır. artık işlem yapmak adına elimizde 42 yolcu kalmıştır....

Çözüm: herhangi bir kişinin dönüşte,gelişte kullandığı koltuğu kullanmama ihtimali 41/42 olup diğer 41 kişi için bu geçerlidir.
o halde bu yolcuların aynı koltukta seyahat ETMEME olasılığı=P=(41/42)^42 olacaktır. yani selin'in bahsi kazanma şansı:
1-P kadardır...

P=0,3634 çıkmakta ve selinin bahsi kazanma şansı:1-0,3634=0,6366 yani yaklaşık %64. çoğumuza ilk bakışta imkansız gibi geliyor ama selin nalandan daha avantajlı!!! :)

Alıntı:

---

matera'den alıntı

Çözüm: herhangi bir kişinin dönüşte,gelişte kullandığı koltuğu kullanmama ihtimali 41/42 olup diğer 41 kişi için bu geçerlidir.
o halde bu yolcuların aynı koltukta seyahat ETMEME olasılığı=P=(41/42)^42 olacaktır. yani selin'in bahsi kazanma şansı:
1-P kadardır...

---

böyle bir olayın olasılığı böyle hesaplanmaz

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

böyle bir olayın olasılığı böyle hesaplanmaz

---

aklınıza hangi tarafı yatmadı bilmiyorum ama çözüm bu.

Alıntı:

---

matera'den alıntı

aklınıza hangi tarafı yatmadı bilmiyorum ama çözüm bu.

---

benim aklıma yatıp yatmaması önemli değil :)
bu çözümde koltukların ve kişi sayısının sanki sonlu deil de sonsuz sayıda olduğunu varsaymış oluyosunuz
örnek vermek gerekirse Ali bu 42 kişiden birisi olsun
Ali'nin kendi koltuğuna oturmama ihtimali 41/42 dir burası doğru fakat gelin Ali'yi bu 41 koltuktan birisine oturtalım ve Ali'nin oturduğu koltuğun geliş yolundaki sahibine bakalım bu da Veli olsun. Veli için artık ihtimal %100 dür. Yani herkesi birbirinden bağımsız koltuklara oturtmanız için koltuk ve adam sayısının sonsuz olmas gerekir.

ufak bir sayı için deneyip görebilirsiniz mesela 5 kişi için yapalım
sizin çözümünüze göre 5 kişinin aynı yerlere oturmama ihtimali (4/5)⁵=1024/3125 ~ %32,768

ama 5 kişi için bu ihtimalin gerçek değeri
1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!=(60-20+5-1)/120=44/120=11/30~%36,67 dir

cevabın 42 kişi için gerçeğe yakın çıkması ise 42 nin sonsuza 5 ten daha yakın olması :)


bir de ekleme yapayım bu çözümü yapan bir kitap falan mı acaba? çünkü çok vahim bir durum lurdu eğer öyleyse. bu çok ünlü bir sorudur. şaşkın dizilim sorusu.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

benim aklıma yatıp yatmaması önemli değil :)
bu çözümde koltukların ve kişi sayısının sanki sonlu deil de sonsuz sayıda olduğunu varsaymış oluyosunuz
örnek vermek gerekirse Ali bu 42 kişiden birisi olsun
Ali'nin kendi koltuğuna oturmama ihtimali 41/42 dir burası doğru fakat gelin Ali'yi bu 41 koltuktan birisine oturtalım ve Ali'nin oturduğu koltuğun geliş yolundaki sahibine bakalım bu da Veli olsun. Veli için artık ihtimal %100 dür. Yani herkesi birbirinden bağımsız koltuklara oturtmanız için koltuk ve adam sayısının sonsuz olmas gerekir.

ufak bir sayı için deneyip görebilirsiniz mesela 5 kişi için yapalım
sizin çözümünüze göre 5 kişinin aynı yerlere oturmama ihtimali (4/5)⁵=1024/3125 ~ %32,768

ama 5 kişi için bu ihtimalin gerçek değeri
1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!=(60-20+5-1)/120=44/120=11/30~%36,67 dir

cevabın 42 kişi için gerçeğe yakın çıkması ise 42 nin sonsuza 5 ten daha yakın olması :)


bir de ekleme yapayım bu çözümü yapan bir kitap falan mı acaba? çünkü çok vahim bir durum lurdu eğer öyleyse. bu çok ünlü bir sorudur. şaşkın dizilim sorusu.

---

gereksizyorumcu bakın;
diyelim ki Ali 41/42 lik ihtimali gerçekleştirsin ve velinin gelişteki yerine otursun. bu durumda Veli de bir başka X şahsının gelişteki yerine oturmak zorunda kalır. x, y nin yerine y ise z nin yerine oturmak zorunda kalır ve böylece zincirleme devam eder. o halde niye hesap yapıyoruz ki? alinin zaten 41/42 lik olasılığı gerçekleştirmesi zaten herkesin kaderini değiştirmiş madem o halde selinin şansı alinin insafına kaldı... :) ya böyle birşey olabilirmi gereksizyorumcu? siz bence çözümü anlamadınız

Ali ile Veli birbirlerinin yerine oturabilir :) , tüm hipoteziniz daha ilk cümlede çöküyor.

çok anlaşılır bir örnek veriyorum: ali gelişte 14 nolu koltukta dönüşte ise 35 nolu koltukta otursun. ŞİMDİ SORUYORUM: bu durum 40 numaralı koltukta gelen kişinin tekrar 40 numaralı koltukta dönme olasılığını etkilermi? daha ne diyeyeim ben...

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

Ali ile Veli birbirlerinin yerine oturabilir :) , tüm hipoteziniz daha ilk cümlede çöküyor.

---

ben artık tartışmıyorum. siz doğudan ben kuzeyden bakıyorum galiba aynı manzaraya

sorunun çözümünü yaptığımı düşünüyorum, sizin (41/42)⁴² varsayımınızın da nerede hata yaptığını gösterdiğimi düşünüyorum. hatta bu söylediğinizin 5 kişi yanlış olduğunu direkt sayıyı hesaplyıp da söylediğimi düşünüyorum.


hatta gelin bakın 4 kişi için işin sn noktasında çözümü tek tek sayıp yapalım

ABCD kişilerin ilk gelişte oturdukları sıralar olsun
dönüşte 24 şekilde dönebilirler ama bunlardan sadece
BADC-BCDA-BDAC
CADB-CDAB-CDBA
DABC-DCAB-DCBA

olmak üzere 9 tanesinde kimse yerne oturmaz yani ihtimal 9/24 tür (=1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)

sizin hesabınıza göre ihtimalin (3/4)⁴=81/256 olmsı gerekir ama görüldüğü üzere değil.

Alıntı:

---

matera'den alıntı

çok anlaşılır bir örnek veriyorum: ali gelişte 14 nolu koltukta dönüşte ise 35 nolu koltukta otursun. ŞİMDİ SORUYORUM: bu durum 40 numaralı koltukta gelen kişinin tekrar 40 numaralı koltukta dönme olasılığını etkilermi? daha ne diyeyeim ben...

---

bu 40 nolu koltukta oturanı etkilemez ama 35 nolu koltukta gelen için artık aynı koltukta dönme ihtimali yoktur
o nereye oturursa otursun farklı olacaktır. kısaca siz sanki bir hedefe 41/42 ihtimalle ateş edildiğini ve 42 atışta hiç vuramamanın ihtimaini hesaplıyorsunuz ama durum daha farklı her olay birbirinin ihtimnaline etki eden farklı sonuçlar oluşturur.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

bu 40 nolu koltukta oturanı etkilemez ama 35 nolu koltukta gelen için artık aynı koltukta dönme ihtimali yoktur
o nereye oturursa otursun farklı olacaktır. kısaca siz sanki bir hedefe 41/42 ihtimalle ateş edildiğini ve 42 atışta hiç vuramamanın ihtimaini hesaplıyorsunuz ama durum daha farklı her olay birbirinin ihtimnaline etki eden farklı sonuçlar oluşturur.

---

35 no lu koltukta oturan kişinin yerinden olması 40 numaralı koltukta oturanı direkt etkilemez. ha şöyle olur ama: 35 nolu koltukta dönen kişi o koltuğun geliştekli sahibini, bu sahipse bir başkasınınkini bu kişiyse bilmem kimi..........vs. vs. derken kelebek etkisi yaratır ve 40 no lu koltukta dönecek ve selinin bahsi kazanmasını sağlayacak kişiyi koltuğundan eder. o halde kimse kimsenin koltuğuna göz dikmesinmi oldu şimdi?

Alıntı:

---

matera'den alıntı

35 no lu koltukta oturan kişinin yerinden olması 40 numaralı koltukta oturanı direkt etkilemez. ha şöyle olur ama: 35 nolu koltukta dönen kişi o koltuğun geliştekli sahibini, bu sahipse bir başkasınınkini bu kişiyse bilmem kimi..........vs. vs. derken kelebek etkisi yaratır ve 40 no lu koltukta dönecek ve selinin bahsi kazanmasını sağlayacak kişiyi koltuğundan eder. o halde kimse kimsenin koltuğuna göz dikmesinmi oldu şimdi?

---

galiba ben derdimi anlatamıyorum
bu sorunun cevabı (41/42)⁴² şeklinde hesaplanmazın açıklamasını yapıyorum. bu tür bir gerekçeyle böyle bir hesaplama yaptığınızda ufak bir hata yapmış olursunuz diyorum, 4 kişi için çözümünüzün açık arıza verdiğini tek tek tüm durumları sayıp yukarıda yazmaya da çalıştım. Kabul sayı büyüdükçe hesap hatanız azalır mesela 1000 kişi olsaydı (999/1000)¹⁰⁰⁰ ya da 1/n! li toplam ve çıkarımlarla bulduğumuz sonuçlar birbirine çok yakın olurdu