n. ifade

Selamlar Arkadaşlar,

Aşağıdaki gibi bir sorum olacaktı, umarım yardımcı olursunuz,
teşekkürler


100 tane ifadenin bulunduğu bir listedeki n. ifade “Bu listedeki ifadelerin tamı tamına n tanesi doğruyu belirtmez.” şeklindedir.
a.)Listedeki ifadelerin doğruluğu ile ilgili nasıl bir hükme varılabilir?
b.)Eğer listedeki n. ifade “Bu listedeki ifadelerin en az n tanesi doğruyu belirtmez.”şeklinde olsaydı listedeki ifadelerin doğruluğu ile ilgili nasıl bir hükme varılabilirdi?
c.)Eğer listede 99 tane ifade olsaydı (b) seçeneğine nasıl cevap verirdiniz?

a) her bir n'inci ifade "listedeki ifadelerin tamı tamına n tanesi yanlıştır". Bu durumda sadece bir tane doğru ifade olabilir. Doğru ifadeden sadece bir tane olduğuna göre 100-1=99 tane yanlış ifade var. Bu durumda sadece 99. ifade doğru.

b) n'inci ifade = "En az n tane yanlış var". diyelim ki toplamda F tane yanlış var. Bu durumda F'inci ve ondan önceki bütün ifadeler doğru. Bu durumda F tane doğru ifade var. 100-F = "yanlış ifade sayısı" çünkü bir ifade ya doğrudur ya yanlıştır: Ama zaten yanlış ifade sayısının F olduğunu varsaymıştık. Bu durumda 100-F=F. Bu durumda F=50. Yani vardığımız hüküm bu listedeki ilk 50 ifadenin doğru olduğu ve son 50 ifadenin yanlış olduğu.

c) Diyelim ki F tane yanlış var. Bu durumda F'inci ifade ve ondan önceki bütün ifadeler doğru. Bu durumda F tane doğru ifade var. 99-F yine yanlış ifade sayısı. 99-F=F, 2F=99. İmkansız çünkü F tamsayı olmalı.Yorumlayalım: İlk 49 ifade kesinlikle doğru ve son 49 iifade kesinlikle yanlış. 50. ifade "en az 50 tane ifade yanlış" ifadesi. Eğer bu doğruysa, bizzat bu cümle yanlış olmak zorunda çünkü bundan sonra sadece 49 tane var. Eğer bu yanlışsa bizzat bu cümle doğru olmak zorunda çünkü kendi yanlışlığıyla birlikte 50 yanlışa tamamlıyor. Klasik bir gödel cümlesi.

Yani 100 için bu liste karar verilebilir bir liste. 99 için değil. Açıkça görülüyorki bu liste her çift sayı için karar verilebilir bir lisete. Hiç bir tek sayı için değil.