Bir ülkenin eğitim bakanısınız. Propaganda konuşmanız sırasında gazetecilerden birinin sınıf mevcutlarının fazlalığı ile ilgili size hesap sorması üzerine, buyrun gidelim kendi gözlerinizle görün diye meydan okuyorsunuz.

Gazetecinin seçtiği bir okulun kapısına bir sandık koydurtup 2 değişik yöntemle sınıf mevcudunu ölçebilirsiniz;

1.yöntem: Her öğretmenin dersine girdiği sınıfın mevcudunu yazdığı bir kağıdı sandığa atmasını isteyip, sonuçta sandıktaki tüm sayıların ortalamasını alabilirsiniz.

2.yöntem: Her öğrencinin sınıfındaki mevcudu yazdığı bir kağıdı sandığa atmasını isteyip sonuçta sandıktaki tüm sayıların ortalamasını alabilirsiniz.

Bu kalabalık sınıflar mevzusu göreve geldiğinizden beri başınızı ağrıtıyor, durumu biraz olsun kurtarmak için hangi yöntemi seçmelisiniz?
a)1. yöntem
b)2. yöntem
c)farketmez , iki yöntem de aynıdır
d)okulun sınıf mevcutlarına göre bazen 1. bazen 2. yöntem iyi sonuç verebilir, bilemeyiz.

cevabınızı matematiksel olarak da destekleyiniz.

A sınıfı Mevcut: 30 kişi
B sınıfı Mevcut: 40 kişi
C sınıfı Mevcut: 50 kişi
D sınıfı Mevcut: 60 kişi

olsun.
Bu sınıfların ortalaması 180/4=45 kişidir.

2. yöntemde
A sınıfındaki her öğrenci benim sınıfımda 30 kişi var diye yazar.
B sınıfındaki her öğrenci benim sınıfımda 40 kişi var diye yazar.
C sınıfındaki her öğrenci benim sınıfımda 50 kişi var diye yazar.
D sınıfındaki her öğrenci benim sınıfımda 60 kişi var diye yazar.

Bunların ortalamasınıalırsak
(30.30+40.40+50.50+60.60)/180=8600/180=47,77

Bakanımız zararda.


Şimdi Üstadım, 1. yöntem için, bu soruyu 1. kademe dediğimiz, ilkokul sınıfları için sorulduğunu farz ediyorum. İkinci kademe dediğimiz, eski ortaokul ve liseler için sorulursa durum içinden çıkılmaz bir hal alıyor. Eğer böyle olursa

A sınıfının sınıf öğretmeni, benim sınıfımda 30 kişi var diye yazar.
B sınıfının sınıf öğretmeni, benim sınıfımda 40 kişi var diye yazar.
C sınıfının sınıf öğretmeni, benim sınıfımda 50 kişi var diye yazar.
D sınıfının sınıf öğretmeni, benim sınıfımda 60 kişi var diye yazar.

Bu durumda

180/4=45

Gerçek sonuç ortaya çıkar.

1. yöntemde öğretmenlerin girdiği sınıfların hangileri oldukları ve kaç sınıfa girdikleri gibi sayılar tam olarak belli olmadığı için onlarca durum ortaya çıkabilir.

Sonuç olarak, ben olsaydım, hiç böyle bir yönteme başvurmazdım. 2. yöntem zaten, her halükarda ortalamayı yükseltiyor. 1. yöntemde ise ne çıkacağını önceden kestirmek güç. Ama ille de yapılması gerekiyorsa, 1. yöntem daha uygun.

Bir kere şunu kabul bilmek gerekiyor. Bu yöntemlerden hiç biri mevcut ortalamanın altında bir sonuç vermiyor. Yani bir karı yok.

hocam ne kadar öğretmen taraflı düşünüyosunuz
yazdığınız 30-40-50-60 sayıları için gerçek sonuç 45 değildir ki , bu sadece öğretmelerin karşılaşması muhtemel yoğunluktur. bu sayılar için öğrencilerin karşılaşması muhtemel yoğunluk sizinde hesapladığınız 47,78 civarı bir değer

Ne demek istediğinizi anlamadım.

demek istediğim siz yoğunluğu öğretmen tarafından ölçülmesi gereken birşeymiş gibi düşünüyosunuz.

hemen sizi de çizginin diğer tarafına atan bir örnek vereyim (tabi dolmuşunuz yoksa)
bizler eve gidiş dönüşte dolmuştan faydalanan vatandaşlar olalım, bir de dolmuşçular odası olsun. bizler hep şikayet edelim dolmuşlar kalabalık diye ve diyelim ki bakın bugün sabah bizim dolmuşta 32 kişi vardı , başkası desin bizim dolmuşta 25 kişi vardı ...
dolmuşçular da desinler ki "valla abi açız, bugün 20 sefer yapıp toplam 180 kişi taşıdım, ortalaması 9 ediyor"
burada kim haklı? dolmuşların kalabalığından yakınan bizler mi yoksa az yolcu taşıdığını düşünen dolmuşçular mı?

yani illa bir sınıf yoğunluğu ölçülecekse zaten bana göre öğrenci bakış açısından ölçülmeli ama sorumuz bu değil sorumuz her zaman öğrenci bakış açısından ölçülen yoğunluk öğretmen bakış açısından ölçülen yoğunluğu (ya da sınıf bakış açısından ölçülen yoğunluğu) geçer mi? geçmediği bazen öğretmenlerin daha yoğun olduğu durumlar oluşabilir mi?

ya da dolmuşçunun ölçtüğü sayı her zaman yolcunun ölçtüğünden az mıdır?

İyi de sınıfların kalabalıklığından biz de şikayetçiyiz. Ben bu taraf işini hala anlamadım. Sınıf sayısı belli, öğrenci sayısı belli. Neyi değiştirebiliriz ki. Verdiğim örnekte, öğrencilere yapılan oylamada ortalamanın mevcut ortalamadan daha fazla çıktığını gösterdim. Ama bu gerçek sonuç değil ki. Ortalama, ona buna göre olmaz ki. Verdiğiniz örnek de tam olarak buraya uymuyor. Ama ille de uyması gerekiyorsa, bence dolmuşçular haklı. Çünkü onlar bir günlük ortalamayı belirtiyorlar. Yolcular bir günün belli bir bölümündeki yoğunluktan bahsediyorlar.
Ve hala ben, beni ne ile eleştirdiğinizi anlayabilmiş değilim.

sınıf sayısı ve öğrenci sayıı belliyse her sınıfı (öğrenci sayısı/sınıf sayısı) şeklinde ayarlarsınız öğrenci tarafından görülen yoğunluk ile öğretmen tarafından görülen yoğunluğu eşitlemiş olursunuz. tabi bunu tüm ülke için yaparsanız ancak bir anlamı olur , eğer bunu yapamıyorsanız (ki yapılmasının neredeyse imkansız olduğnu biliyoruz) yoğunluğu öğrenci sayısı/sınıf sayısı olara ölçmek milli eğitimi öğrenciler olmasa ne güzel idare ederdim demek gibi olur. bence yoğunluk hizmet alan tarafından ölçülmelidir.

öğrencilerin kimisi 20 kişilik bir sınıfta okurken, öbürü 40 kişilik bir sınıfta okusun. Aritmetik ortalamayla, sınıf başına düşen öğrenci sayısı 30 olurken, 2. yöntemdeki gibi yapıldığında 33,3 çıkıyor. Şimdi 40 kişilik bir sınıfta okuyan öğrencinin kalabalıktan şikayet etme hakkı olabilir ama, 20 kişilik sınıfta okuyan öğrencinin böyle bir hakkı yok. 40 kişilik sınıfta okuyan öğrencinin durumunu haklı çıkarmak için, 20 kişilik sınıflarda okuyanları kullanmak niye? Bu şekilde düşünüldüğü zaman, işin içinden çıkmak mümkün olmaz. Sabit olmakta fayda var diye düşünüyorum. Ben sabit fikirliyim. Öyle değişik hesaplamalar beni bozar.

sınıf sayısı s olsun
k=1 den s e kadar , m_k=k. sanıftaki öğrenci mevcudu olsun

M=

s

∑

1

m_k

K=

s

∑

1

(m_k)²

olduğunda
1. yöntemle hesaplana ortalama Ort₁=M/s olur
2. yöntemle hesaplana ortalama Ort₂=K/M olur

bize sorulan K/M mi yoksa M/s mi daha büyk bir değerdir?

s=1+1+1+1+...+1 olarak alınıp
Cauchy-Schwarz Eşitsizliği uygulandığında

M.M≤K.s hemen elde edilir , eşitlik durumu sadece tüm sınıfların eşit sayıda öğrenci içermesi halinde geçerlidir.

sonuçta öğrencilerin karşılaştığı ortalama yoğunluk her zaman öğretmenlerin karşılaştığı ortalama yoğunluktan fazladır.

???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????