Üçgen Bahçe

Bu zamana kadar gördüğüm soruların en ilginçlerinden birini sizlerle paylaşıp, yorumunuza sunmak istiyorum. Soru basit gibi ama bence yine de tartışmaya açık.

Çeşitkenar üçgen şeklindeki bir bahçenin belli bir yerine bir aydınlatma direği dikilecektir. Bu direkteki lambanın aydınlattığı bölgenin yarıçapı, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapından küçük ise , bahçenin mümkün olan en fazla bölgesini aydınlatabilmesi için direk nereye dikilmelidir?

a)Kenarortayların kesim noktasına
b)Açıortayların kesim noktasına
c)Yüksekliklerin kesim noktasına
d)Kenar orta dikmelerin kesim noktasına

e)Hiçbiri

eğer yanlış bişeyler yapmıyorsam bu noktanın yeri üçgenin açılarına ve lambanın aydınlatma yarıçapına bağlı olarak değişkenlik gösteriyor. bayağı bi zaman harcadım ama tam olarak noktanın yerini de bulamadım açıkcası ama şundan eminim üçgenin açılarına ve aydınlatma yarıçapına bağlı olarak 4 şıkta da verilen noktaların en iyi yer olmadığı durumlar mevcut.

Üstadım, bu soru bir deneme testi sorusuydu. Bu da geçmişimde kalan sorulardan biriydi. Bunun üzerinde de tartışmıştık ama yine tam bir yanıt bulamamıştık. Ama hiçbiri denilebileceğini zannetmiyorum da verilen noktalardan hangisi olabileceğini kestiremedim.Daha tam olarak da uğraşamadım. Mesela aydınlatma yarıçapı, iç teğet çemberinin yarıçapına eşit olsa, açıortayların kesim noktası diyebiliriz ama diğer durumlarda da bu geçerli mi bilemiyorum Ya da herhalükarda merkezi kenar orta dikmelerin kesim noktası olarak tutup çevrel çemberin simetriği olacak biçimde aydınlatma yapılabilir gibime geliyor.

hocam ben soru üzerinde en az 2 saat uğraştım kabaca birşeyler de buldum ama ne bir koordinat ne de şu noktadır denebilecek durumda. şunu söyleyebilirim direğin dikileceği nokta aydınlatma yarıçapı ve üçgenin açılarının bir fonksiyonu olarak tanımlanıyor.

bu sorunun cevabı yukarıdaki şıklardan birisi değil
şu şekilde gösterebiliriz
r-içteğet çemerin yarıçapı
R-çevrel çemberin yarıçapı
I-içteğet çemberin merkezi
O-çevrel çemberin merkezi

aydınlatma yarıçapı r+d olsun (d→0) o zaman direğin I'ya dikilmesi gerektiği açıktır
aydınlatma yarıçapı R-d olsun (d→0) o zaman direğin O'ya dikilmesi gerektiği açıktır

bu haliyle bile aydınlatma yarıçapı r ye yakınken 3 şıkkı , aydınlatma yarıçapı R ye yakınken de 3 şıkkı eliyoruz.

Üstadım, dediğim gibi bu soru bir deneme sınavı sorusuydu. Soruyu hazırlayan kişiyi tanısam soracaktım, nerden aklına geldi böyle bir soru ve sen sorunun cevabını biliyor musun diye. Sorunun çözümsüz olma ihtimali de vardır tabi.
Yalnız bir itirafta bulunayım, sorunun aslında aydınlatma yarıçapının, çevrel çemberin yarıçapından küçük olma durumu verilmemişti, onu ben ekledim. O durumdayken soru daha da karmaşıktı bana göre. Aydınlatma yarıçapına sınır getirilmezse soru daha da karışıyordu. O zaman çok büyük yarıçaplı bir aydınlatmayla bahçenin her yerine dikilebilirdi. Şimdi sorunun bu haliyle mümkün olan en fazla aydınlatmayı sağlamak için bence rastgele bir nokta olacağını zannetmiyorum. Muhtemelen üçgenin özel noktalarından biri olması gerekir diye düşünüyorum. Belki burada olmayan özel bir nokta olabilir. Sizin dediğiniz de doğru. İç açılara göre ve yarıçapa göre durum değişecektir ama bunları gözardı ederek mümkün olan en fazla aydınlatma düşünülmeli.

Şimdi aklıma geldi. Bence aydınlatma yarıçapına alt sınır da getirilmeli. Şıklarda verilen noktaların kenarlara uzaklıklarından daha küçük bir yarıçap olursa o zaman 4 şık da doğru olur.
Üstadım, soru çok saçma gibi. Üzerinde fazla düşünmeye gerek yok ama bu sorunun hoşuma giden tarafı, matematiğin günlük hayatta uygulanmasına dair çok güzel bir örnek olması. Ya da ben öyle görüyorum. Şimdi diyeceksiniz ki bir bahçenin kenar uzunlukları, ve açıları belli ise, lambanın aydınlatma yarıçapı da biliniyorsa, rahatlıkla en fazla aydınlatmanın yapılacağı nokta hesaplanabilir Ama bu soruyu ben şöyle anlamak istiyorum. Sizin pisagor bilmeyen öğrenciye yarıçap hesaplatmanız gibi, yarıçap, kenar ve açılar bilinmeden sadece özel noktalar üzerinden sorunun cevaplanması.

soruyu şimdi gördüm, çok hoşuma gitti, bir şey sorayım, burda direğin yerinden bahsediliyor, ışık kaynağıda direğin üztinde olacak zaten
sorum şu; ışık kaynağı direği merkez kabul edip direğin etrafında merkezi direk olacak şekilde aydınlık bir çember oluşturyor diye düşüneceğiz değil mi? (normalde ışık kaynaklar direğe o şekilde bağlanmaz ama ben soruyu o şekilde anladım, ondan soruyorum)

Aynen öyle öğretmenim,siz de yorumlayın bir bakalım.Gerçekten ilginç bir soru değil mi?

üzerinde çok ayrıntılı düşünmedim ama bana ilk etepta böyle bir nokta varsa kesinlikle iç teğet çemberinin merkezi olmalı gibi geliyor, çünkü başka herhangi bir nokta kabul ederseniz, aydınlanan bölgenin yarıçapına bağlı olarak yarıçap için uygun bir değer ayarlayıp iç teğet çemberinin merkezine konulduğunda bu herhangi noktadan daha çok aydınlatacağını göstermek çokta zor değildir.

sorun şu; iç teğet çemberinin merkezine dikilirse her zaman daha çok aydınlatır konusu üzerinde fazla düşünemedim,ama diğer bütün noktaları eleyecek durum oluşturmak mümkün

Öğretmenim soruya bu haliyle iyi bir kafa yormak gerekiyor. Üçümüzün yaptığı yorum da mantıklı. Tek nokta bulmak imkansız gibi gözüküyor. Üstadın dediği gibi, yarıçapın büyüklüğüne bağlı olarak yer değişecektir. Yarıçapı ve açıları gözardı ettiğinizde ise soru tam bir arapsaçı oluyor. Ben daha kağıt kalemi elime alıp soruyla uğraşmadım. Sadece mantığımla bulduklarımı yazıyorum. Ama içimden bir ses, eğer yarıçap, yukarıda bahsettiğim sınırlar arasında olduğu varsayılıp gözardı edildiğinde sabit bir nokta tespit edilebilir diyor ama iyi bir hesap lazım bunun için. Benim kafa şimdi onu yapacak durumda değil. Uğraşmak isteyen olursa diye yazdım soruyu.

yukardaki yorumumun biraz açayım;

aydınlanan bölgenin yarı çapı r,
iç teğet çemberin yarı çapı x olsun;

r<x ise aynı miktarda alan aydınlatacak şekilde bir çok yere dikilebilir
r>x ise gene gene aynı miktarda alan aydınlatacak şekilde bir çok yere dikilebilir
r=x ise tek bir noktaya dikilebilir buda iç teğet çemberinin merkezidir

Öğretmenim ilk yorumumda demiştim. İç teğet çeğet çemberi olması yüksek diye. Ya da herhalukarda kenar orta dikmelerin kesim noktası da olabilir.
Öğretmenim şunu gözden kaçırmayalım. Bir üçgenin şıklarda verilen dört özel noktası birbirlerine çok yakın noktalar. Aydınlatma yarıçapının büyüklüğüne göre dördü de doğru olabilir veya dördü de olmayabilir. Her durumda içteğet çemberinin merkezi olur diye de sınırlandırılamaz gibime geliyor. Dediğim gibi hala kağıt kalemle uğraşmadım ama görebildiğim şu. Bu sorunun cevabı, verilen dört noktanın kenarlara olan uzaklığı ile yarıçap arasındaki ilişkiye bağlı. Sizin verdiğiniz 3 durumdan sadece r=x de içteğet çemberinin merkezine yerleştirmek doğru olacaktır. Diğer durumlarda, diğer noktaları devre dışı bırakırsanız bana göre hata olur. Çünkü birden fazla cevap çıkma olasılığı yüksek.

hocam öncelikle alt ve üst sınırlar getirilmli demişsini,z evet dediğim gibi üst sınır çevrel çembrin yarıçapı R dir , alt sınır da içteğet çemberin yarıçapı r dir.
diğer türlü zaen ya çember üçgenin içinde kalır ya da üçgen çemberin içinde kalır sorunun bir anlamı kalmaz.

paradoks hocamızın cevap içteğet çmberin merkezidir yorumuysa ne yazık ki doğru olmuyor hatta bir diçüçgen çizip aydınlatma yarıçapı=√R.r alarak bunun doğru olmadığını görebilirsiniz.

birden fazla nokta olması doğaldır ama bu noktaların düzlem üzerindeki konumları belirlenebilir sadece ben çok karışık olduğundan nasıl bir noktalar kümesi (ya da tek noktaysa nokta) olduğunu belirleyemedim

aydınlatma yarıçapının arctanjantının , karekökünün falan karışık bir fonksiyonu çıkıyodu belki çözülebilrse düzgün bişeyler bulunabilir ama dediğim gibi cevabın şıklarda olmadığından eminim. bence cevap I ile O yu birleştiren bir parabolün (ya da parabol+sinüslü bi ifade) üzerindeki tek bir nokta çıkacak. tabi bu nokta da artık aydınlatma yarıçapının ve üçgenin açılarının fonksiyoonu olarak onlar değiştikçe değişecek.

mesela 3-4-5 üçgeninde yarıçap 2 olduğunda direk G ye dikildiğinde I ya dikildiği durumdakinden daha geniş alana ışık veriyor

Üstadım nerelere gittiniz, arctanjant falan. Bu soru bir de 8. sınıf OKS deneme sınavı sorusuydu. Şimdi siz böyle deyince soruyu hazırlayana söylemek istediklerimin arttığını farkettim. Nerden gelmiş aklına böyle bir soru. Çık çıkabilirsen işin içinden.
Üstadım, yukarıda da belirttim. Ben daha kağıdı kalemi alıp sizin gibi soru üzerinde kafa patlatmadım. Galiba bu soruyu 5 sene önce görmüştüm. O zamandan beri hiç uğraşmadım soruyla. Ben her zaman şunu derim. Ben Matematikçiyim diyen biri, çözümünü bilmediği bir soruyu araştırmıyorsa, sorup soruşturmuyorsa ben Ona Matematikçi demem. Geçmişimde kalan sorular dediğim işte bunlar. Böyle birkaç soru var. Çözümünü bilmediğim, kendim de yapamadığım veya uğraşmaya fırsat bulamadığım, sürekli kafamı meşgul eden. Hazır forumdayken bunları sizinle paylaşmak istedim. Hem siz de haberdar olun, hem de çözmek için uğraşmak isteyebilirsiniz diye veya bir çözüm bulunabilir de kafamdan çıkarlar diye.
Diyeceğim, bu soruyu ilk gördüğümde aklıma gelen ilk şey, bu soruda sanki tersten düşünmek gerekli. Yani, bahçenin en fazla aydınlatılması yerine ışığın mümkün olan en azının boşa gitmesi diye. Burada bence gözümüz bahçenin içinde değil de dışında, yani ışığın bahçenin dışında kalan kısmını nasıl en aza indirebilirim diye yola çıkılmalı gibime geliyor.

daireyi yere sabitliyorum ve üçgeni kaydırıp dairenin içine en büyük alanı kalmasını istiyorum

en büyük alan oluştuğunda artık max. olmanın tanımı gereği üçgeni d→0 d birim bir tarafa kaydırdığımızda üçgenin daire içindeki alanında değişim olmamalı

üçgenin her kenarı için o kenarın doğrultusunu koruyup d birimn paralel bir kaydırma yapıyoruz böyle olunca doğrultusu korunan kenarın mrkeze uzaklığı sabit kalıyor diğr 2 kenar içinse +d.sinB ve -d.sinC lik bir değişim oluyor

merkezin kenarlara uzaklığı h_a,h_b,h_c olduğunu varsayarsak

bu noktada paralel 2 kirişle kesilmiş daire parçasının alanı devreye giriyor
√(r²-x²) nin h_b den h_b+dsinC ye integralinin değerinin h_c den h_c-dsinB y integralinin değerine (d→0) eşit olması gerekiyor. gerekli işlemler yapılınca mecburen bu ifadenin integralinden arctanjantlı bişeyler geliyor. buradan da merkezin kenarlara ne uzaklıkta olması gerektiğine dair r ve açılara bağlı bir fonksiyon bulunuyor ama ben oradan kökleri ya da değerleri bulamadım. yani sorunun 8. sınıflara sorulmuş olması bence soran kişinin gafletinden kaynaklı yoksa bu soru oldukça zor belki de çözüldüğünde bulunan noktanın bir ismi bile olabilir çünkü benzeri noktaların hep ismi var. siz çözersanız adınıza ait bir noktanız bile olabilir :)

Estağfurullah Üstadım, ama gerçekten yorumunuza bir kez daha hayran oldum. Sizin yorumlarınızdan sonra soru gözümde daha da büyüdü.
Ben derim ki teşbihte hata olmaz. Ya bu deveyi güdelim. Ya bu diyardan gidelim. Elimizdeki noktalardan biri ile yetinelim. Fazlası beni çooook aşar. Siz daha yakınsınız o noktaya. Benim bunu yapabilmem için 40.000 fırın ekmek yemem lazım. Ama şu konuda sizle hemfikiriz galiba. Bu iş, verilen noktaların kenarlara olan uzaklığı ile, yarıçap arasındaki ilişkide düğümleniyor. Üstadım itiraf edeyim. En son yorumunuz beni çok aştı. Biraz ilkokul öğrencisine türev anlatır gibi oldunuz.

açıkçası en başından beri, bazı özel r durumlarında, en büyük alanı bulmanın çok karışık işlemler gerektirdiğini kestirebildim ama o kısma girmeden bişeyler bulabilirmiyim diye düşündüm, tabiki bulamadım:)

aslında bu soruda, sanki şöyle bir çözüm bulmamızı istiyorlar; düzlemde üçgene göre öyle sabit bir nokta bulki, bu noktaya dikilecek ışık kaynağından çıkan ışığın oluşturduğu aydınlık bölge üçgen üzerinde her zaman maksimum olsun, (direğin yeri düzlemde üçgene göre herhangi sabit bir nokta)

siz ise bu noktanın yerinin şıklarda olmadığını idda ediyorsunuz, hatta benim anladığım kadarıyla bu noktanın yerinin, üçgen aynı üçgen olsun, sadece aydınlığın yarı çapını değiştirerek direğin yerini değiştirebiliriz diyorsunuz, yani direğin yerinin duruma göre değişken olduğunuda idda ediyorsunuz, doğru anlamış mıyım?

aslında bende böyle değişken olabileceğini düşünüyorum, ama o zamanda bahçeden bağımsızmış gibi olmaz mı? (aydınlığın yarı çapına bağlı bir konum bulmuş olmaz mıyız?)

yada şöyle diyeyim; bazı özel durumlar için şıklardaki yere denk gelebilir, ama her zaman bu noktalara denk gelmez diyorsunuz galiba

Ben değişken olabileceğini zannetmiyorum. Ama gösteremiyorum da ve kafa da yoramıyorum. Beynim çok yorgun. Bu soru üçgenin ağırlık merkezi sorusuna benzedi.

paradoks12'den alıntı:

yada şöyle diyeyim; bazı özel durumlar için şıklardaki yere denk gelebilir, ama her zaman bu noktalara denk gelmez diyorsunuz galiba

evet hocam sadece özel duumlarda bu noktalara denk gelebilir (yüksekliklerin kesim noktası-orthocenter'a denk geleceği eşkenar üçgen olma durumu hariç özel durum olacağını da sanmıyorum gerçi)

ve evet bir önceki yorumda dediğiniz gibi bahçe sabitken sadece aydınlatma yarıçapını bile değiştirseniz noktanın yeri değişiyor ama bu bahçeden bağımsız demek değil çünkü aynı aydınlatma yarıçapıyla bahçenin kenarlarının ölçüsünü bile değiştirseniz (alanını ya da çevresini sabit tutmakta yine serbestsiniz amacımız açılarını değiştirmek) noktanın yeri yine değişiyor.

ben işin içinden çıkamadım ama o şıklarda cevap olmadığını daha soruya uğraşmaya başlamadan düşünmüştüm zaten çünkü uç değerlerde farklı noktalar elde ediliyorsa geometrik süreklilğin bir sonucu olarak bu iki noktanın arasındaki noktaların da çözüm olmasını sağlayan aydınlatma yarıçapı değerleri bulunur.

tabi bişey var belki benim içinden çıkamadığım şeylerin sadelşemesi sonucu güzel bir sabit(ya da değerlere bağlı tek ) nokta bulunuyo olabilir ama bu I, O , G falan değil ondan eminim

bir özel durumda, daha önceden söylediğim gibi, eğer aydınlatma yarı çapı iç teğet çemberinin yarı çapına eşitse, bu aydınlanmış çemberin tamamını üçgenin içine sığdırabileceğimiz tek olasılık var, iç teğet çemberinin merkezi ve aydınlanmış çemberin merkezini çakıştıracak şekilde yerleştirmektir, çünkü bu noktadan çok az miktarda sapmış olsak bile çember üçgenin dışına taşmış olacaktır

kısacası, özel olarak açı ortayların kesişim noktasına da denk gelebilir

Soruyu hazırlayan kişinin, öğrenciden ne istediğini bir anlayabilsek. Acaba ağırlık merkeziyle mi bir ilişki kurmaya çalıştı ki, Herhalde göz kararı cevap verilebilecek bir soru olarak düşündü. Derler ya,"Delini biri kuyuya bir taş atmış, 40 akıllı çıkaramamış" diye. Biz de ona döndük. Acaba soruyu yazarken bu kadar çözümsüz kalabileceğini de kestirebilmiş midir acaba?