En büyük alanı oluşturun

Aşağıda çubuklar kesilmeden oluşturulmuş
alanı 8br² , kenarları 2 ve 4br olan bir dikdörtgen ile
alanı 9,682br² , kenarları 2-3-4 ve 7br olan bir yamuk görülmektedir.



Bu örneklerdeki gibi sadece 2-3-4 ve 7 birim uzunluğunda 4 çubuk kullanarak, çubukları kesmeden, eğip-bükmeden en fazla ne kadar alan çevreleyebilirsiniz?

Bonus soru:
Kenarları 2-3-4 ve 7br olan en büyük alanlı dörtgenin alanı A,
kenarları 2-3-4 ve 5br olan en büyük alanlı dörtgenin alanı B olsun.
A/B nedir?

Not: Önce bonus soruyu çözmeniz/araştırmanız size ana soruda yardımcı olabilir.
Uyarı: Bonus soruyu ana soruyla karıştırmayınız zira şekildeki dikdörtgen örneğinden de anlaşılabileceği üzere ana soruda kenarların 2-3-4-7br olması gibi bir şart yok.

2 br ve 3 br çubukları uçuca konarak 5 br elde edilir.
kenar uzunlukları 4 br, 5 br ,7 br olan üçgenin alanı yakşık olarak 9,797959 br2 hesaplanır.
sanırım en büyük alan 9,797959 br2 dir.

bunun cevap olmadığını şöyle görebiliiz;
yine yaptığınız gibi 2 ve 3ü uç uca getirip 5 yapalım. 4 ve 5 i dik koyalım , 7 yi de hipotenüs yapalım (7 nin birazı kullanılmamış olur ama sakıncası yok). Sonuçta 10br² alan kapatmış oluruz, tabi cevap 10 değil :)

neden 4 ile 5 i dik koyuyoruz? dik üçgen olmasa olmazmı?

3.14159265358979323846264'den alıntı:

neden 4 ile 5 i dik koyuyoruz? dik üçgen olmasa olmazmı?

ben sadece sizin örneğinizden daha büyük bir alanın oluşturulabileceğini göstermek istemiştim. ayrıca da kendimizi üçgenle sınırlandırırsak ve kenarlardan ikisi 4 ve 5 ise en büyük alanın bu iki kenar birbirine dikken oluşan 10 değeri olduğu kolayca gösterilebilinir.(yukarıdaki yorumda yazdığım gibi 10 dan büyük alan da kapatılabiliyor.)

soruda not olarak yazıldığı üzere önce bonus soruya bakmak esas sorunun çözümünde büyük fayda sağlayabilir. kenarları a,b,c,d olan bir dörtgen ne zaman en büyük alana sahip olur ve bu alan nedir?

2,3,4,7 için ≈10.8 en büyük alan

2,3,4,5 için ≈10.43 en büyük alan

hocam galiba bonus kısım için cevaplar vermişsiniz
2,3,4,7 için bu osnucu ne şekilde elde ettiniz yolunuzu yazabilir misiniz. cevabını tam hatırlamıyorum ama bu veya buna çok yakın bir değer olmas lazım hesaplayabiliriz yani sorun değil.

2,3,4,5 içinse cevabın bundan büyük olduğuna eminim onun için de nasıl bir şekille bu alanı oluşturdunuz bizimle paylaşır mısınız?

not: bonus soru için bulcağınız cevap sizi gerçekten şaşırtabilir :)

Maksimum alan için 3 durum aklıma geldi 1) Genel dörtgen 2) Yamuk 3) Teğetler dörtgeni
1)
Bir dörtgenin köşegenleri e ve f, köşegenler arasındaki açı x olmak üzere dörtgenin alanı 1/2.e.f.sinx dir. Alanın en büyük olması için x in 90 derece olması lazım olamıyorsa olabileceği en büyük açı. Bir dörtgenin köşegenleri dik kesişiyorsa karşılıklı ikişer kenarın kareleri toplamının birbirine eşit olduğunu ve bunun nasıl gösterildiğini biliyoruz. Kenarlar 2,3,4,7 olduğundan aradaki açının 90 derece olamayacağını gösterebiliyoruz ama en fazla ne kadar olabileceğini bulamadım ayrıca 4 kenarının uzunluğu belli olan bir dörtgenin köşegen uzunlukları bulunabilir mi bilmiyorum. O yüzden burada tıkandım.
2) Yamuk için Örnekte üst tabanı 3 almışsınız. Üst tabanı 2 alınca alan 10.8 çıkıyor.
3)Teğetler dörtgeni nasıl bir sonuç verir kestiremedim.

İçimden bir ses maksimum alan için dörtgenin yamuk değil genel dörtgen olmasının gerektiğini söylüyor ama gösteremedim.

2,3,4,5 içinde Eğer yamuk olarak düşünürsek sadece alt tabanı 5, üst tabanı 2 olan yamuk oluşturabiliyoruz Onun da alanı yaklaşık 10.43 çıkıyor.

hocam sorunun ana kısmında 2-3-4-7 olan parçaları tam olarak kullanmak zorunda değilsiniz. örnek şekilde de verildiği üzere çubukların istediğiniz kadar bir kısmını alanı çevirmekte kullanabilirsiniz (dikdörtgendeki gibi). ilginç belki ama max. alan da çubukların tamamı değil de dikdörtgen örneğindeki gibi birazını dışarda bırakarak oluşturulabiliyor (sorunun bu kısmını ben hazırladım)

bonus kısmında ise size biraz yardımcı olayım. kenarları belirli bir dörtgende max. alan kirişler dörtgeninde oluşur.

Yanlış yazdım Üstad. 3. durumu kirişler dörtgeni yazacaktım, yazarken kirişler dörtgeni ile teğetler dörtgenini karıştırdım. Zaten bu uzunluklarla teğetler dörtgeni olamıyor. Dediğim gibi 3 farklı durumu tek tek inceledim. Kirişler dörtgeni için fazla birşey bulamadım. Madem öyle dediniz, kirişler dörtgeni üzerinde yoğunlaşayım.

MatematikciFM'den alıntı:

Yanlış yazdım Üstad. 3. durumu kirişler dörtgeni yazacaktım, yazarken kirişler dörtgeni ile teğetler dörtgenini karıştırdım. Zaten bu uzunluklarla teğetler dörtgeni olamıyor. Dediğim gibi 3 farklı durumu tek tek inceledim. Kirişler dörtgeni için fazla birşey bulamadım. Madem öyle dediniz, kirişler dörtgeni üzerinde yoğunlaşayım.

kenarları belli bir kirişler dörtgeninin Heron'un üçgenin alanı formülü gibi bir formülü var hocam. hatta Heron formülü onun 4. kenar=0 olan özel bir durumu.

formülün adı Brahmagupta mıydı neydi öyle bir hintli ismi

a,b,c,d kenarlarken
s=(a+b+c+d)/2
A=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

Teşekkürler üstadım, ama en büyük alanın kirişler dörtgeni ile mümkün olduğunu nasıl göstericez? Niye diğerleri değil mesela?

MatematikciFM'den alıntı:

Teşekkürler üstadım, ama en büyük alanın kirişler dörtgeni ile mümkün olduğunu nasıl göstericez? Niye diğerleri değil mesela?

bunun için Ptolemy Teoremi(Eşitsizliği) var onu biliyorum bakın :)

"bir dörtgende karşılıklı kenarların uzunlukları çarpımının toplamı köşegenlerin uzunlukları çarpımından büyükeşittir ve eşitlik sadece dörtgen kirişler dörtgeni olduğunda mümkündür. "

bu eşitsizliği dörtgenin alan formülünde kullandığımızda kenarlar sabitken en büyük alanın sadece kirişler dörtgeni için oluştuğunu ispatlayabiliyoruz.

ayrıca teoreme göre a,b,c ve d kirişler dörtgeninin ardışık kenarları , e ve f köşegenleriyken
ac+bd=ef

Bu teoremleri bilmeyince bu soruları çözmek imkansız ya da oturup hepsini tek tek ispat edeceksin.

kirişler dörtgeninin en büyük alana sahip olduğunu google a yazsanız anında bulabilirsiniz hatta birçok lise kitabında da yazıyo olabilir

bu teoremlerin bilinmesiyle bu sorunun çözümünün bir ilgisi yok ki sadece neden kirişler dörtgeni en büyük alana sahip bunu nasıl ispatlarız dediniz ben de bunu şu şekilde gösterebiliriz diye bunları yazdım. kirişler dörtgeninin en büyük alana sahip olduğunun bilinmesi bu soru için yeterli, bunu da kullanıyoruz diye ispatlamamız gerektiğini düşünmüyorum.

bonus sorunun cevabı A=2 √30 ve B=2 √30 olduğundan A ∕ B=1 olması gerek doğrumu?
ana soru için henüz bi şey bulamadım biraz daha düşünelim.

evet bonusta A/B=1 çıkıyor.
3 kenar uzunluğu aynıyken 4. artmış olmasına rağmen max. alan aynı oluyor.