∞ Matematik ve Sonsuz

Gerek konusma vermeye gittiğim okullarda, gerek bana gelen okur mektuplarında, ögrenci ve ögretmenlerin matematikteki sonsuzluk kavramını pek iyi bilmediklerini gözlemledim. Örnegin, birçok kisi,
•Sonsuz eksi sonsuz,
•Sonsuz bölü sonsuz
gibi islemlerin yapılabilecegi sanıyor. Kimisi de “sonsuz eksi 1”in bir sayı oldugunu sanıyor, yani sonsuzdan hemen önce bir sayı oldugunu sanıyor.
Bu yazıda, matematikte kullanılan sonsuzluk kavramına biraz açıklık getirmek istiyorum. “Sonsuz” dendiginde, genellikle, çok uzakta, taa ötede, ulasılamayacak bir yer düsünülür. Genel olarak, “sonsuz” sözcügü bir yer adıymıs gibi kullanılır. Bursa gibi, Balıkesir gibi, Fransa ya da Amerika gibi... Bursa’yla Sonsuz arasındaki tek ayrım, Sonsuz’a hiç ulasılamamasıdır. Kimi zaman da, “sonsuz” dendiginde çok büyük bir miktar akla gelir, sayılamayacak kerte büyük bir miktar... Bu ikinci anlam, “sonsuz”un matematiksel anlamına daha yakındır. Günlük yasamda kullanılan anlamda bir “sonsuz”un gerçekte (dogada, evrende, uzayda...) olup olmadıgı ayrı bir tartısma konusudur. Belki de bu anlamda “sonsuz”, imgelemin bir ürünüdür ve dogada yoktur. Ama bizim konumuz, sonsuzun varlıgı ya da yoklugu değil, tanımı.
Biraz daha açayım: “Sonsuz”un ne demek oldugunu tanımlamak baskadır, “sonsuz”un var oldugunu ya da olmadıgını kanıtlamak baska. Yani, kavramın tanımıyla varlıgı bambaska sorulardır.
Ben, bu yazıda daha çok “sonsuz”un matematiksel tanımıyla ilgileneceğim. Konumuz felsefe değil. Yazının sonunda, matematikte sonsuzun varlıgı konusuna söyle bir degineceğim. Yukarda, “sonsuz” sözcügüne günlük yasamda verdiğimiz anlamdan kısaca sözettim. Matematikte “sonsuz”un bambaska bir anlamı vardır. Günlük yasamda kullanılan “sonsuz”un tam ne demek oldugunu pek iyi bilmiyorsak da, matematikte “sonsuz” sözcügünün kesin bir anlamı vardır.
Popüler matematik yazılarımın birçogunda, günlük yasamda kullanılan “sonsuz” kavramının bu belirsizliginden yararlanıp çatıskılar (paradokslar) sundum okura. Bu çatıskılar bugün artık bir çatıskı değilse de, pek yakın bir zamana dek çatıskıydılar. Çünkü matematigin “sonsuzluk” kavramı bir yüzyıl öncesine degin pek açık seçik bilinmiyordu. “Sonsuz” konusunda büyük bir kargasa vardı. Kerli felli adamlar “sonsuz” kavramı üzerinde birbirleriyle anlasamıyorlar, bu ayrılıktan dolayı birbirlerine küsüyorlardı. Kümeler kuramının gelismesiyle birlikte (Georg Cantor sayesinde), matematikte “sonsuz”un ne anlama gelmesi gerektigi anlasıldı. Matematikteki “sonsuz” kavramına açıklık getirilmesinin püf noktası sudur: “Sonlu”nun ne demek oldugunu anlarsak, “sonsuz”un da ne demek oldugunu anlarız, çünkü “sonsuz”,
“sonlu”nun karsıtıdır, sonlu olmayana sonsuz deriz¹.
Matematikte “sonsuz” bir nitemdir (sıfattır), bir ad değildir. Nasıl “sonlu” bir nitemse (sıfatsa), matematikte kullanılan “sonsuz” da bir nitemdir. Sonsuz, sonlunun karsıtıdır.

Matematikte sonlu olmayana sonsuz denir.

Adına “sonsuz” denilen matematiksel bir nesne yoktur. Ama sonsuz matematiksel nesneler vardır. Nasıl “sarı”, “yesil”, “uzun”, “soğuk” birer nitemse, matematikteki “sonsuz” sözcügü de bir nitemdir.
Matematikte, adı “sonlu” olan bir nesne olmadıgı gibi, “sonsuz” diye de bir nesne yoktur. Yineliyorum: Matematikte, “sonlu” ve “sonsuz” sözcükleri birer nitemdirler. Örnegin, “sonlu sayı” terimindeki “sonlu” sözcügü “sayı” sözcügünü niteler. Bunun gibi, “sonsuz sayı” terimindeki “sonsuz” sözcügü “sayı”yı niteler. (Matematik bölümünde okumamıs bir okurun sonsuz sayı kavramını, hatta sonlu sayı kavramını da, bildigini sanmıyorum.)
Matematikte 5 bir nesnedir. 1 de bir nesnedir. Dolayısıyla 5’ten 1’i çıkarabiliriz ve 4 nesnesini buluruz.
Ama “sonsuz”, bir nesne olmadıgından, matematikte ∞–1 diye bir nesne yoktur ve ∞–1’in yazılmaması gerekir. Bir nitemden bir nesne çıkaramayız.

Bu kavram karısıklıgının suçlusu ögrenciler değil, elbette... Ögrenci hiçbir zaman suçlu olamaz. Lise ögrencilerine, bugünkü egitim sistemimizde, “sonsuz”un tam matematiksel anlamı anlatılamaz. Bugünkü egitim sistemimizde, din bilgisi gibi, savunma bilgisi gibi, trafik bilgisi gibi, ticaret gibi çok daha yararlı (!) ve sıg dersler okutulmaktadır. Ögrenciler haftada 4 saat matematik görürlerse ne âlâ! Egitim sistemimizin oldugu kadar biz matematikçilerin de suçu var bu kavram karısıklıgında. Matematikçiler, “sonsuz”u çogu kez bir ad gibi kullanırlar. Örnegin, sanki sonsuz bir yer adıymış gibi, “n sonsuza gittiginde” derler. Hatta görmüssünüzdür, Lim _n->∞ yazarlar. Bu tümcecikte, “sonsuz” sanki bir yer adıymış gibi kullanılmıs. Yanlış! Matematikte “sonsuz” diye bir yer yoktur.

Asıl suçlu ∞ simgesi. Ortaöğretimde, matematiksel simgeler genellikle nesneler için kullanılır. Boşküme bir nesnedir ve simgesi ∅‘dir örneğin. Oysa ∞ simgesi, bir nesnenin simgesi değildir.
Bu yüzden “n sonsuza gittiginde” dememek gerekir. Onun yerine, “n durmadan büyüdügunde, yani her tamsayıyı bir süre sonra aştığında” demek daha doğru olur.
Matematikçiler,

Sonsuz eksi sonsuz, ∞ – ∞
Sonsuz bölü sonsuz, ∞ / ∞

demez ve yazmazlar. Yazdıklarında da bunun ne demek olduğunu açıklamak zorundadır. Ama kimi zaman, matematikçi,

∞ + 1 = ∞
∞ – 1 = ∞
∞ + ∞ = ∞
∞ / 2 = ∞
2 × ∞ = ∞

yazabilir. Burada, matematikçinin söylemek istediği,
• Sonsuz artı 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz eksi 1, sonsuza eşittir
• Sonsuz artı sonsuz, sonsuza eşittir
• Sonsuz bölü 2, sonsuza eşittir
• İki kere sonsuz, sonsuza eşittir değildir . Matematikçi sırasıyla sunları söylemek istiyordur:
• Durmadan büyüyen bir değiskenden 1 çıkarırsak, elde ettiğimiz değisken de durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değiskene 1 eklersek, elde ettiğimiz değisken de durmadan büyür,
• İki değisken durmadan büyüyorsa, o değiskenlerin toplamı da durmadan büyür,
• Durmadan büyüyen bir değiskeni ikiye bölersek, gene durmadan büyüyen bir değisken elde ederiz,
• Durmadan büyüyen bir değiskeni ikiyle çarparsak, gene durmadan büyüyen bir değisken elde ederiz.


Ta eski Yunanlılardan beri, matematikçiler ve filozoflar “sonsuz” ve “sonsuzluk” üzerine kafa yormuslardır. Geçen yüzyılda, matematigin sonsuzluk kavramını Alman matematikçi Georg Cantor biçimsellestirdi. Cantor’a göre sonsuz bir sıfattır. O gün bu gün, matematikçiler “sonsuz”u ad olarak değil, sıfat olarak kullanırlar.
Matematikte sonsuz bir nesnenin² varlıgı konusuna gelince³...


Matematikte sonsuz bir nesnenin varlıgı (böyle bir nesnenin varlıgını kabul eden bir belit/aksiyom olmadan) kanıtlanamaz. Öte yandan matematikçiler “sonsuz” nesnelerden sözedebilmek isterler. Matematikçi sonlu nesnelerle baktıgında, kimi zaman sonsuzu görür gibi olur, yani “sonsuz,” sonlunun arasından kendini gösterir, kendini belli eder. Dolayısıyla matematikçi sonsuz nesnelerin varlıgını kanıtlayamasa da, sonsuz nesnelerden sözedebilmek ister. Bir örnek vereyim.
0, 1, 2, 3, 4 gibi doğal sayılar sonlu matematiksel nesnelerdir (yani kümelerdir.) Peki, ya bu doğal sayılardan olusan nesne? Yani {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} nesnesi? Bu nesnenin sonsuz oldugunu (yani sonsuz tane öge içerdigini) biliyoruz. Biliyoruz ama, matematikte böyle bir nesne var mıdır? Yani bu nesne, matematikte sözünü edebilecegimiz bir küme midir⁴?
Bu nesnenin bir küme oldugu “sonlu matematikte⁵” kanıtlanamaz. Madem varlıgını kanıtlayamıyoruz ama öyle bir nesnenin bir küme olmasını istiyoruz, bizde matematikte böyle bir kümenin oldugunu varsayarız, yani bu nesneyi küme yapacak bir beliti (aksiyomu) matematiğe sok arız... Böylece, matematikte sonsuz bir küme belirir... Daha önce yoktu, bir belitle var ettik!
Ve bu beliti kullanarak matematikte sonsuz bir nesnenin varlıgını kanıtlamıs oluruz. Doğada sonsuz bir nesnenin olup olmadıgı tartısmasını okurlara ve filozoflara bırakıyorum.
Ben, bu konudaki düşüncelerimi, Matematik ve Doğa adlı kitabımın aynı baslıklı yazısında açıklamıştım.

__________________________________________________________________
1 Bu tanımın “sonsuz”u gerçekten tanımlayabilmesi için, “sonlu”nun ne demek oldugunu bilmemiz gerekir. Matematikte “sonlu”nun birçok tanımı verilebilir. Bütün bu tanımlar birbirleriyle esdeger tanımlardır elbette. Yani bir tanım için sonlu olan küme, bir baska tanım için de sonludur. Burada, matematikte “sonlu”nun tanımını vermeyecegiz. Okurun, bu tanımı sezgisiyle bildiğini varsayacagız.
2 “Kümenin” demek istiyorum.
3 Dikkat: “Sonsuz” adı verilen bir nesneden söz etmiyorum, öge sayısı sonsuz olan bir kümeden söz ediyorum.
4 Matematikte küme olmasını arzu ettigimiz her nesneyi küme varsayarsak, matematikte bir çeliski elde ederiz. Matematik ve Korku adlı kitabımdaki Bertrand Russell’ın Paradoksu yazısı bu konuyu işlemektedir.
5 Yani sonsuz kümelerin var olduğunu söyleyen bir belitin yardımı olmaksızın.

Ali NESİN

Nokta ve doğru tanımsız kavramlardır biliyorsunuz. Çelişki buradan kaynaklanıyor.
İkincisi sorun çıkaran nokta, sayılabilir sonsuz yada sayılamayan çokluk kavramlarında bence(bakınız)

Alıntı:

---

Admin'den alıntı

Nokta ve doğru tanımsız kavramlardır biliyorsunuz. Çelişki buradan kaynaklanıyor.
İkincisi sorun çıkaran nokta, sayılabilir sonsuz yada sayılamayan çokluk kavramlarında bence(bakınız)

---

doğru tanımsız değildi ki?

Hocam bu kavramlar her zaman tartışılan kavramlardır. Matematik Dünyasındaki bu yazıda, " Örneğin Hilbert beş tanımsız terim: nokta,doğru,Düzlem,arasında eşlenik kurarken Pieri iki tanımsız terim (nokta,hareket) ve Veblen iki tanımsız kavram (nokta,sıra) kullanmıştır" diyor.
Evren nasıl tanımlı hocam. Evrenin tam olarak daha nasıl bir yapı içerdiği görülmüş değil. Sadece bazı deneylere dayanarak tahminler var.


Ayrıca matematik profesörü Ali Nesin, buradaki yazıda şöyle diyor.

"Belit, doğruluğu tartışılmadan kabul edilen önerme demektir. Dikkat! “Belitler doğrudur” dan bambaşka bir şey söyledik.
'Belitler doğrudur' demedik kesinlikle. Belitler, sadece kabul edildiklerinde doğruluğu tartışılmayan önermelerdir. Sadece kabul edildiklerinde... Kimse belitleri kabul etmek zorunda değil. Ama kabul edildiklerinde, artık tartışılamazlar.

.............................................
.............................................

Tanımı verilmeyen terimler olmalıdır. Bu tanım verilmeyen terimleri bildiğimizi varsayıp başka şeyler anlamaya ve anlatmaya çalışmalıyız.
Tanımı verilmeyen bu terimlere asal terimler denir. Asal terimsiz derdimizi anlatamayız.

.............................................
.............................................

Ve Hilbert Sahnede!
Hilbert, 1899’da Geometri’nin Temelleri (Grundlagen der Geometri) adlı yapıtında Öklid’in yapmak istediğini (bugünkü anlamda) çok daha matematiksel olarak yapmıştır.
Yazının devamında Hilbert’in Öklid geometrisinin belitlerini vereceğiz. Önce Hilbert’in kabul ettiği asal terimlerin listesini vermemiz gerekiyor. Bunlar tam 6 tanedir:
• Nokta
• Doğru
• Düzlem
• Üstünde / içeriyor
• Arasında
• Eş
Bu terimlerin anlamını anlamaya çalışmayacağız, anlayamayız da. Bunları böylece tanımsız kabul edeceğiz ve kullanacağız."

Buradaki tanımsızlık anlamı noktanın cümle olarak bir tanımının yapılmamış, doğrunun yapılmış olması değil. Buradaki tanımsızlık duyularımızla bu kavramları net bir şekilde kavrayamadığımızdan tanımsız bu kavramlar.

TANIMSIZ TERİMLER

Aksiyom ya da teorem kavramlarının anlaşılabilmesi için öncelikle
önermenin anlaşılması gerekir. Yani önermeyi oluşturan kelimelerin veya
matematiksel ifadelerin bilinmesi gerekir ki, önerme anlaşılsın. Bu kelime ve
matematiksel ifadelerin anlaşılabilmesi için tanımlar kullanılır. (Örneğin; açı, üçgen
gibi kavramlar tanımlanır.) Bu yapılırken de başka kavramlar kullanılmak
zorundadır. Bu kavramlar da daha başka kavramlara dayanacağından sonunda bazı
kavramlar tanımsız olarak kabul edilir.
Eucleides’in aksiyomlarında, kaçınılmaz olarak ne anlama geldiği tam belli
olmayan tanımlanmamış (ancak terminolojide bulunması gereken) tanımı verilmeyen
bu terimler, biliniyor varsayılıp diğer yapılar anlaşılmaya çalışılmalıdır. Tanımı
verilmeyen bu terimlere tanımsız (asal terimler) denir. Asal terimler olmadan
matematik bilimi oluşturulamaz.

Asal terimler için çeşitli seçenekler kullanılabilir. Eğer T kavramından S
kavramı ve S kavramından da T kavramı tanımlanabiliyorsa, T terimi asal terim
olarak kabul edileceğine S terimi asal terim olarak kabul edilebilir ya da tam tersi
yapılabilir. Bu ise görecelidir.

Sadece “küme” ve “elemanı olmak” kavramları asal terim olarak kabul edilip
kümeler kuramıyla ise başlanıp, geometri de dahil olmak üzere, tüm matematik inşa
edilebilir. Ancak, örneğin bir lise örgencisinin geometri öğrenmek için kümeler
konusundan başlaması pedagojik olmaz. O halde, sadece geometriyi inşa etmek için
Eucleides geometrisinde “nokta”, “doğru”, “düzlem” gibi asal terimler kabul edilir.
Ama bu asal terimlerin kümeler kuramından hareketle matematiksel olarak
tanımlanabileceği de bilinmelidir .

Tanımsız terimler okullarda sezgisel yolla kazandırılır. Yani bunlar
etkinliklerle örgencilere sezdirilir .

Nokta

Her sekil ve cisme bir nokta kümesi olarak bakılabilir. Noktanın kendisi
geometrinin en temel elemanıdır ve tanımsızdır. Yani noktayı başka bir şeyden
yaralanarak tanımlama imkanı yoktur. (Tanımsız terimlerden doğru, düzlem ve uzayı
ise nokta yardımıyla anlatma imkanı vardır.) .

Eucleides geometrisinin bu kavramı tanımsız terimler arasında yer alır.
David Hilbert’ten önceki matematikçiler, diğer iki kavram gibi noktayı da
tanımlamak için büyük çaba sarf etmişlerdir. Bazı matematikçilerin “nokta” için
vermiş oldukları tanımlara bakılırsa, bu tanımlarda açıklanması daha zor olan başka
kavramların yer aldığı kolayca görülebilir .

EUCLID: “Nokta parçasız nesnedir.”
LEGENDRE: “Çizgilerin ucuna nokta denir.”
ROCHE: “Çizgilerin arakesitine nokta denir.”

Görüldüğü gibi noktanın tanımında açıklanması pek de kolay olmayan
“parça”, “çizgi”, “uç”, “arakesit” gibi kavramlar yer almaktadır [5].
Noktanın ne demek olduğuna sözlükten bakılırsa, örneğin Türk Dil
Kurumu’nun sözlüğünde nokta için su tanım bulunur: “Nokta: Hiçbir boyutu
olmayan işaret.” .
Noktanın tanımı boyut kavramına dayandırıldığı için, boyutun anlamına da
bakılırsa su tanımla karşılaşılır: “Boyut: doğruların, yüzeylerin veya cisimlerin
ölçülmesinde ele alınan üç doğrultudan yani uzunluk, genişlik ve derinlikten her
biri.” .
“Boyut” kavramının “doğru”, “yüzey”, “ölçü”, “doğrultu”, “uzunluk”,
“genişlik”, “derinlik” gibi kavramlara; sonuç olarak da “nokta” tanımının “doğru”
kavramına, “dogru” tanımının da “nokta” kavramına dayandırıldıgı görülür. O halde,
“nokta”, “dogru” ve “düzlem” kavramları tanımsız terimler olarak kabul edilmelidir .

Nokta, okullarda; kalemin kagıttaki izi, tebesirin tahtadaki izi, küçük bir kum
tanesi, toz seker zerrecigi gibi bir sey olarak anlatılmalıdır. “Cümle sonunda”, “bazı
harfleri yazarken” nokta kullanırız gibi cümleler çocuk zihninde nokta hakkında bir
fikir olusturur. Noktaların büyük harfler kullanılarak adlandırıldıgı belirtilir .


Doğru

Dogru kavramı da baska bir tanımsız terimdir. Ancak matematikçiler, bu
kavramı da tanımlamaya çalısmıslardır [5].
EUCLID: “Dogru, noktalarına göre düzgün yayılan nesnedir.”
HERON: “Sabit tutulan iki nokta etrafında döndürüldügünde durumunu
degistirmeyen nesneye dogru denir.”
GRASSMANN: “Hareketi esnasında yönünü koruyan bir noktanın çizdigi
çizgiye dogru denir.”
LEGENDRE: “Dogru, iki nokta arasındaki en kısa yoldur.”
BARBARIN: “ ki noktasıyla tamamen belirli nesneye dogru denir.”


Bu tanımlardaki durum da noktadaki gibidir. Yani, bu tanımlarda da
açıklanması daha zor olan baska kavramlar bulunmaktadır.

Dogru, okullarda; cetvel yardımıyla sıkça koydugumuz noktalardan olusan
bir nokta kümesi olarak anlatılabilir. Dogrunun her iki uçtan sonsuza gittigi
belirtilmelidir. Bunun için noktaların çiziminde kullanılan cetvelin çok uzun oldugu
durumun hayal edilmesi yeterlidir.

Bir dogru, üzerine konulan iki harf ile adlandırılır ve gösterilir. Her iki
yönden sonsuza gittigini göstermek için çogunlukla iki ucuna da ok isareti konur

Düzlem
Geometrinin baslarında verilebilecek sonuncu tanımsız terim düzlemdir [5].

EUCLID: “Düzlem, dogrularına göre düzgün yayılan nesnedir.”
LEIBNIZ: “ ki noktaya uzaklıkları esit olan noktaların geometrik yerine
düzlem denir.”
THEON - SIMSON - LEGENDRE: “Düzlem, herhangi iki noktasından
geçen dogruyu içine alan yüzeydir.”
DUHAMEL: “Bir noktadan bir dogruya dik olarak çizilen dogruların
geometrik yerine düzlem denir.” [5].


Nokta ve dogru tanımsız olarak alınıp, düzlemi tanımlamak adına Gauss-
Crelle-Veronese-Peano-Veblen tarafından önemli çalısmalar yapılmıstır [5].
Burada da düzlem, Hilbert’in çalısmalarında oldugu gibi tanımsız terim
olarak kabul edilecektir [5].
Düzlem okullarda anlatılırken ögrencilerin dikkati masanın yüzü, kagıdın
yüzü, cam yüzeyi, sınıf tahtasının yüzeyi, durgun su yüzeyi üzerine çekilir ve
bunların her bir yönden sonsuz olması hali düsündürülür [3].
Düzlemin bir noktalar kümesi oldugunu k*****mak için kagıt veya cam
üstüne fırça ile boya taneleri püskürtmek veya püskürtmeye devam etmek suretiyle
kagıt yüzeyinin nokta seklindeki boya tanecikleriyle kapandıgını göstermek uygun
bir çalısmadır. Bu çalısmayı izleyen çocuklar “Düzlem bir nokta kümesidir.” fikrine
ulasır.

Uzayı anlatmak için ise; toz seker, tuz veya kum dolu bir kavanozdan
yararlanılabilir. Her kum tanecigi bir nokta ve kavanozun çok büyük oldugu
düsünülürse noktaların uzayı nasıl doldurdugu anlasılır. Ayrıca tüm galaksileri
içine alan, astronomik bir terim olan “uzay” örnegi verilebilir.

TANIMLI TERİMLER
Tanımlı terimler, tanımsız terimlere ve kendisinden daha önce tanımlanan
terimlere baglı olarak dil ve mantık kuralları içinde tanımlanan terimlerdir.

Dogru parçası, yarı dogru, açı, üçgen, dörtgen, vb. bunlara örnek olarak verilebilir.