Bölünebilme kuralları ve ispatları

1) 2 ile bölünebilme kuralı

Herhangi bir sayıyı çözümlersek bu sayı
abcdef...gt olsun
10ⁿa+10^n-1b+...10¹g+t
10'un tüm kuvvetleri 2 ile bölüneceğinden birler basamağındaki t sayısının iki ile bölünmesi gerekir.2 ile bölünen rakamlar da 0,2,4,6,8 olduğuna göre ayrıca bunlarda çift sayılar olarak sınıflandırıldığından çift sayılar 2 ile bölünür.

2) 3 ile bölünebilme kuralı

10'un tüm kuvvetlerinden 1 çıkartırsak kesinlikle o sayılar 10 sayısının kuvvetinin sayısı kadar 9 getirecektir.9 sayısından başka bir sayı gelmeyecektir bizde
abcdef...gt gibi bir sayıyı şöyle yazarsak

(9....9a)+a+(9....9b)+b+.....(9g)+g+t
görüldüğü üzere 9'lu olan her sayılar 3'e bölünecek çünkü biz sayıyı 3 parantezine alarak
33..3 şeklinde götürebiliriz.Ama bizim ayırdığımız
a+b+c+d+e+f+..+g+t sayısı elimizde kalacak diğer ayırdıklarımız her türlü bölüneceğinden bu ayırdığımız sayıların da bölünmesi gerekir.Bu ayırdığımız sayılar da rakamlar olduğundan rakamlar toplamına bölünmesi yeterli olacaktır.

3) 4 ile bölünebilme kuralı

100 sayısı 4'e bölünür.100 ile hangi sayıyı çarparsak da 4'e bölünür.Çünkü zaten 100 sayısı 4'ü böler.Biz 100 sayısını 10 ile 100 ile veya herhangi bir 10ⁿ ile çarparsak 4 ile bölünür.Ama 10 bölünmez zaten birler basamağı da kendiliğinden bölünmez o yüzden 10a+b'yi oluşturan sayının 4'e bölümünü bulmak bize sayının 4'e bölümünün kalanını verir.

4) 5 ile bölünebilme kuralı

Zaten bu çok açık 10 sayısının tüm kuvvetleri 5'e bölüneceğinden son basamağın 5'e bölünmesi bize yeterli olacaktır.Son basamağı 0 ve 5 olan sayılar da 5'e bölüneceğinden 5'e bölünme kuralı son basamağa göre tanımlanır.

5) 8 ile bölünebilme kuralı

1000 sayısı 8 ile bölüneceğinden 1000'in tüm katları 8 ile bölünür.O yüzden son 3 basamağa bakarız.100a+10b+c sayısı 8 ile bölünüyorsa sayımız 8 ile bölünür.

6) 9 ile bölünebilme kuralı

3 ile bölünebilme kuralında anlatıldığı gibi kalan tüm sayılar 9 ile de bölünebilir.O yüzden yine rakamlar toplamı alınır.

7) 11 ile bölünebilme

11 sayısının 10 sayısının kuvvetlerine bölümünden kalan ya 1'dir ya -1'dir.Bunu şöyle açıklayalım
11k-1=10
(11k-1)(11k-1)=11n+1 tekrar 10 ile çarpalım
(11n+1)(11k-1)=11m-1 şeklinde düzene girer.Yani 10 sayısının çift kuvvetlerine kalan 1 tek kuvvetlerinde -1 dir.Yani biz 10 sayısının çift kuvvetleri için örneğin 10².a gibi bir değer de 100a-a +a dersek 99a+a 99 bölünür.a sayısının bölünmesi gerekir diyebiliriz.
10b=10+b-b=11b-b 11 bölünür geriye -b kalır.Birler basamağındaki zaten bölünmeyeceğinden + olarak geçer.Bu şekilde bir örüntü oluşur.


8) 20,25 ve 50 ile bölünebilme

100 sayısı 50,25 ve 20'yi böldüğünden katları da böler dolayısıyla son iki basamağa bakmak gerekir.

75 ile bölünebilme kuralı hatalı olmamısmı 1000 sayısı 75 e tambölünmez son 3 basamak yanlış olmazmı

Haklısın düzelttim teşekkürler

rica ederim

Tenküü

7 ile bölünebilme kuralı:
sayının birler basamağı 2 ile çarp; sayının birler basamağı haricindeki sayıdan sonucu çıkar. sonuç 7 veya 7 nin tam katıdır.
örnek1: 5992 7'ye tam bölünür mü?
2*2=4
599-4=595
595 7'ye tam bölünür mü?
5*2=10
59-10=49 (49 7nin tam katıdır.) öyleye 5992 7'ye tam bölünür. (5992/7=856)
8 ile bölünebilme kuralı:
sayının birler basamağı 1 ile onlar basamağı 2 ile yüzler basamağı 4 ile çarpılıp sonuçlar toplanır. sonuç 8in tam katıdır. çünkü birler basamağındaki 1 in 8 ile bölümünden kalan 1 onlar basamağındaki 10 un 8 ile bölümünden kalan 2 yüzler basamağındaki 100 ün 8 ile bölümünden kalan 4 kullanılabilir örnek: 15625565456 sayısı 6x1 + 5x2 + 4x4 =32 32 8'e tam bölünür.

13 ile bölünebilme kuralı:
Sayıyı x=abcdefg olsun temel basamak çarpanları ise 1,-3,-4 tür 1*(g-d+a)+(-3)*(f-c)+(-4(e-b)
şeklinde daha uzun basamaklı ise bir eksili bir artılı çıkarıp ve toplayıp hepsini toplarız
çıkan sonuç 13 ile tam bölünüyorsa sayıda bölünür.

17 ile bölünebilme kuralı:
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a-5b sayısı 17'ye kalansız bölünmesiyle oluşur.

19 ile bölünebilme kuralı:
Sayıyı X=10a+b şeklinde yazdığımızda a+2b sayısı 19'a kalansız bölünürse bölünebilir.

Elinize sağlık hocam ilk defa böyle bir kural gördüm

dcey eline sağlık,3.141592653589 hocam teşekkürler bunu bilmiyordum:)

7 13 17 19 sınavlarda çıkma ihtimali çoook zor ama genede bulunsun dedim. belki bi gün birinin işine yarar :D

23 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 7 katı eklenince oluşan sayı 23 ile bölünüyorsa bu sayı 23'e bölünür.
4 basamaklı bir abcd sayısı alalım.
x = abcd = 10* abc + d
7*x = 70*abc + 7d
7*x (mod23) = 1*abc + 7d (mod23)
7*x (mod23) = abc + 7d (mod23)

29 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 3 katı eklenince oluşan sayı 29 ile bölünüyorsa bu sayı 29'a bölünür.

31 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 28 katı eklenince oluşan sayı 31 ile bölünüyorsa bu sayı 31'e bölünür.
1302 31e bölünür mü?
130+2*28=186 (31*6=186)

37 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 26 katı eklenince oluşan sayı 37 ile bölünüyorsa bu sayı 37'e bölünür.


41 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 37 katı eklenince oluşan sayı 41 ile bölünüyorsa bu sayı 41'e bölünür.

43 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 13 katı eklenince oluşan sayı 43 ile bölünüyorsa bu sayı 43'e bölünür.

47 ile bölünebilme kuralı

sayının son basamağı silindikten sonra kalan sayıya silinen son basamağın 33 katı eklenince oluşan sayı 47 ile bölünüyorsa bu sayı 47'e bölünür.