a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere

a

b

yazılışına a'nın b ye oranı denir.

a

b

ve

c

d

oranları için, a.d=b.c ise

a

b

=

c

d

dir. Bu ifadeye ise orantı denir.

a

b

=

c

d

orantısında (a,d) ye dışlar, (b,c) yede içler denir.

ORANTINI ÖZELLİKLERİ

1)

a

b

=

c

d

ise

d

b

=

c

a

dır. (Dışlar yer değiştirebilir.)

2)

a

b

=

c

d

ise

a

c

=

b

d

dır. (İçler yer değiştirebilir.)

3)

a

b

=

c

d

ise

b

a

=

d

c

dir.(Orantı ters çevrilebilir.)

4) m ≠ 0 ve n ≠ 0 için

a

b

=

c

d

=

m.a+n.c

m.b+n.d

yazılabilir.

5)

a

b

=

c

d

ise

a+b

b

=

c+d

d

yada

a

a+b

=

c

c+d

dir.

6)

a

b

=

c

d

ise

a−b

b

=

c−d

d

yada

a

a−b

=

c

c−d

dir.

7)

a

b

=

c

d

=k ise

a²

b²

=

c²

d²

= k²=

a²+c²

b²+d²

= k² (k: orantı sabiti)

8)

a

b

=

c

d

=

e

f

Üçlü Orantısı a:c:e=b:d:f biçiminde yazılabilir.

Doğru Orantı:

x,y ∈ R⁺ ve k>0 sabit bir reel sayı olmak: x ile y doğru orantılı ise:

y

x

=k ise y=k.x dir

Ters Orantı

x,y ∈ R⁺ çoklukları ters orantılı ise bunların çarpımı sabit olup y.x=k ise y=

k

x

Bileşik Orantı

x çokluğu y çokluğu ile doğru ve x çokluğu z çokluğu ile ters orantılı ise bu üçünün oluşturduğu duruma bileşik orantı denir.

x

y

.z =k şeklinde ifade edilirler.

İşçi Problemlerinde Orantı Kullanımı

İş problemlerinde; kapasite, işçi sayısı ve süre gibi değişkenler yapılan işle doğru orantılı olduğundan, yapılan işin diğer değişkenlerin çarpımına oranı sabittir.

Problem çözülürken doğru orantılı veya ters orantılı olup olmadığına bakılmaksızın alttaki formülle yapmak kafa karışıklığını gidermektedir.

Birinci iş

Birinci işle ilgili diğer verilerin çarpımı

=

İkinci iş

İkinci işle ilgili diğer verilerin çarpımı

(bu formüle örnek alttaki mesajlarda mevcuttur)

ÖRNEK 1:

a sayısını 2b-1 ile ters 2c ile doğru orantılıdır.

a=4 , b=3 iken c=3 ise, a=6, b=1 iken c=?

ÇÖZÜM 1:

a sayısı (2b-1) iler ters orantılı ise çarpma söz konusudur. 2c ile doğru orantılı ise bölme söz konusudur.

a.(2b-1)

2c

=k

Şimdi verilenleri yerine yazalım.

a=4 , b=3 ,c=3

4.5

6

=k ise k=20/6=10/3

Bize sorulan ise,

a=6, b=1 olduğunda c'yi soruyor.

a.(2b-1)

2c

=k

olduğundan,

6.(2.1-1)

2c

=

10

3

c=

9

10

ÖRNEK 2:

xy

x+y

=

1

3

xz

x+z

=

1

7

yz

y+z

=

1

9

olduğuna göre,

1

x

+

1

y

+

1

z

=?

ÇÖZÜM 2:

xy

x+y

=

1

3

Bu ifadeyi biraz düzenleyelim.

x+y

xy

=3

x

xy

+

y

xy

=3

1

y

+

1

x

=3 olur. Diğer ifadeleri de düzenleyelim.

xz

x+z

=

1

7

x+z

xz

=7

x

xz

+

z

xz

=7

1

z

+

1

x

=7 bulunur.

3. ifade ise,

yz

y+z

=

1

9

y+z

yz

=9

y

yz

+

z

yz

=9

1

z

+

1

y

=9

Şimdi bulduğumuz ifadeleri toplayalım.

1

y

+

1

x

=3

1

z

+

1

y

=9

1

z

+

1

x

=7

Taraf tarafa toplarsak.

2(

1

x

+

1

y

+

1

z

)=19

1

x

+

1

y

+

1

z

=

19

2

İşçi Problemlerinde Orantı Kullanımı Örnek Problem.

5 ayakkabıcı 40 çift ayakkabıyı 4 saatte boyarsa 8 ayakkabıcı 48 çift ayakkabıyı kaç saatte boyar?


Çözüm:

  5   40   4

  8   48   x

______________

Burada birinci iş 40 ikinci iş ise 48 dir. İlk mesajdaki formüle göre

40

5.4

=

48

8.x

Burada istenen x=3 tür.