İstatistik, Merkezi Eğilim Ve Yayılım Ölçüleri (Mod,Medyan,Açıklık), Standart Sapma

Merkezi eğilim ölçüleri: Ortanca (medyan), Tepe değeri(mod) ve Aritmetik ortalamadır.

Merkezi yayılım ölçüleri: Standart Sapma, Açıklık (aralık), çeyrekler açıklığıdır.

Ortanca (medyan): Küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmış bir dağılımı tam ortadan ikiye bölen değerdir. Ölçümlerin yarısı bu değerin üstünde, diğer yarısı bu değerin altında yer alır.

Tepe Değeri (mod): Veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında en çok tekrar eden sayı tepedeğerdir (mod). Tepedeğer birden fazla olabilir.

Aritmetik Ortalama: Veri grubundaki tüm sayılar toplanıp veri sayısına bölünürse artimetik ortalama bulunur.

Açıklık(Aralık): En büyük değer ile en küçük değerin arasındaki fark açıklıktır.

Çeyrekler Açıklığı: Üst çeyrekle alt çeyrek arasındaki fark çeyrekler açıklığıdır.

Standart Sapma :

Standart sapma bulunurken.

*Önce verilen dizinin aritmetik ortalaması bulunur.

*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.

*Bulunan farkların her birinin karesi alınır. Karelerden elde edilen sayılar toplanır.

*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınırsa standart sapma bulunmuş olur.

Z ve T puanlarının hesaplanması:

z puanı

z=

Dönüştürülecek puan−Aritmetik Ortalama

Standart Sapma

formülü ile bulunur.

z puanından T puanına geçiş T=10z+50 formulü ile bulunur.

Konuyla ilgili ayrıntılı döküman için buraya bakınız.

ÖRNEK 1:


Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları aşağıda verilmiştir.


https://www.matematiktutkusu.com/for...e/istablo1.jpg


Bu tabloyu kullanarak erkekler ve kızlar için en küçük değer,en büyük değer, en büyük değer alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini bularak kızlar için kutu grafiğini çiziniz.

ÇÖZÜM 1:

Verilerin genişliğini bulabilmek için kullanılacak en uygun grafik kutu grafiğidir.

Ortanca: Veriler küçükten büyüğe sıralandığında veri sayısı tek ise tam ortada kalan terimdir.

*Eğer veri sayısı çiftse tam ortaya gelen iki sayının toplamının yarısı ortanca (medyan) dır.

Alt Çeyrek: Ortancanın solunda kalan verilerin tam ortasındaki terimdir.

Üst Çeyrek: Ortancanın sağındaki verilerin tam ortasındaki terimdir.

En küçük değer: Verilerin en küçüğüdür.

En büyük değer: Verilerin en büyüğüdür.

Şimdi gelelim çözüme,

Erkek öğrencilerin ağırlıkları sıra ile yazılır.

55,55,60,60,60,65,65,70,75,75,80

Erkekler için en küçük değer: 55

en büyük değer: 80

ortanca: 65

alt çeyrek: 60

üst çeyrek: 75

Kız öğrencilerin ağırlıkları sırası ile yazılır.

40,45,45,50,50,55,55,55,60,60,65

Kızlar için en küçük değer: 40

en büyük değer: 65

ortanca: 55

alt çeyrek: 45

üst çeyrek: 60


Bilgiler kutu grafiğe aşağıdaki gibi aktarılır.

https://www.matematiktutkusu.com/for...e/istablo2.jpg



Buna göre grafiği çizelim.

https://www.matematiktutkusu.com/for...e/istablo3.jpg

ÖRNEK 2:

Bir kişinin 10 günde ödediği yemek fiyatları,

7,3,5,8,7,4,9,5,4,8 TL dir.

Buna göre, bu verilenlerin standart sapmalarını bulalım.


ÇÖZÜM 2:

*Verilerin aritmetik ortalamasını bulalım.

(7+3+5+8+7+4+9+5+4+8)/10=60/10=6 dır.

*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.

7-6=1,3-6=-3,5-6=-1,8-6=2,7-6=1,4-6=-2,9-6=3,5-6=-2,4-6=-2,8-6=2

*Bulunan farkların hepsinin karesi alınır ve kareden elde edilen sayılar toplanır.

(1)²+(-3)²+(-1)²+(2)²+(1)²+(-2)²+(3)²+(-1)²+(-2)²+2²=38

*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınır.

38

10-1

=4,2222

Standart sapma=√4,222...≅2,0548 bulunur.

ÖRNEK 3:


Ali'nin Matematik ve Türkçe dersine ait genel durumu verilmiştir.

Matematik

Yazılı puanı: 64

Sınıfın aritmetik ortalaması: 59

Sınıfın Standart sapması: 16

Türkçe

Yazılı puanı : 81

Sınıfın aritmetik ortalaması: 76

Sınıfın standart sapması: 20


ÇÖZÜM 3:

Öğrencinin hangisinden daha başarılı olduğunu bulmak için z ve T puanları bulunur.

z=

Dönüştürülecek puan−Aritmetik Ortalama

Standart Sapma

olduğundan,

Matematik,

z puanı:

64−59

16

=0,3125

T puanı, T=10z+50 ise T=53,125'tir.


Türkçe,

z puanı=

81−76

20

T=10z+50=52,5


T puanı daha büyük olan derste daha başarıldır. Yani Ali matematik dersinde daha başarılıdır.