Üzeri 1,2,3,...,11,12 diye numaralandırılmış analog bir saatin sayılarını tekrardan öyle dizinizki gün içinde herhangi bir tam saatte akrebin o an gösterdiği sayının karesinden bir önceki saatte gösterdiği ve bir sonraki saatte göstereceği sayıların çarpımı çıkarılınca sonuç 13'e tam bölünsün.

örneğin 2-6-5 sayılarını ard arda dizmişseniz akrep 6 nın üzerine geldiğinde soruda istenen o saat için sağlanmıştır

hatırlatma: -13 , -26 gibi negatif sayılar da 13 e tam bölünür.

10,5,9,11,12,6,3,8,4,2,1,7 şeklinde dizdim, yuvarlak şekilde dizilirse, baştaki 10 ve sondaki 7 yanyana gelir. sanırım bu şekilde kurala uyar, tabi soruyu yanlış anlamamışsam

soruyu doğru anlamışsınız ve cevabınız da doğru.

bu yüzden sorunun bonusunu yazıyoruz
1 den herhangi bir asal sayının 1 eksiğine kadar ki mesela 28 e kadar olan sayıları çembere benzer şekilde tabi bu sefer 29 a bölünmek şartıyla dizebilir miyiz? Bunu her asal sayı için yapabilir miyiz? Ya da şöyle soralım bu sayıları dizmenin kolay bir yolu var mıdır?

29 asal sayısı içinde dizilim yapabiliyorum, ama malesef sistemli olarak bir yöntem bulamadım, daha küçük sayılar üzerinde denedim oradan bişeyler çıkar mı diye, bunu yaparkende 29 için problem yok ama daha kolay olan 7 asal sayısı için dizilimi bulmadım:) çok uğraşmadan beynim sulandı yada 7 için böyle bir dizilim yapılamıyor:) sorun bende mi???

ben hemen 7 için dizeyim

3-2-6-4-5-1

ben bunu nasıl göremedim :) demekki gerçekten beynim sulanmış

1,2,4,8,16,3,6,12,24,19,18,7,14,28,27,25,21,13,26,23,27,5,10,20,11,22,15

buda 29 için dizilim, örüntü var gibi ama malesef yerine oturmayan taşlar var

Üzeri 1,2,3,...,11,12 diye numaralandırılmış analog bir saatin sayılarını öyle dizinizki gün içinde herhangi bir tam saatte akrebin o an gösterdiği sayı saat ile eşit değer alsın. :) :)

not: sakın beni yanlış anlamayınız. sorunuzu çok sevdim ve değerde verdim.
beynim sulanmış diye yorum yapan arkadaşımız ve diğer tüm arkadaşalrımız için ufak bi şaka sorusu yazayım dedim.
gülmek hepimizin hakkı.

:) dokunmayın öyle kalsın diyorsun yani

odamdaki duvarda bi analog saat var. rakamları sadece 2 sayısının matematik işlemleri yazıyor. kadranını ben yaptım.
saatin kaç olduğunu öğrenmek için işlemi yapmak gerekiyor.
örneğin kadranın 3 yerine aşağıdaki işlem yazıyor.
https://chart.apis.google.com/chart?...D%20%7D%20%2B2

benzer bir saatde ben yaptım, matematik sınıfım için, örneğin 6. sınıflar bazı işlemleri (kare kök gibi) daha görmediği için bazı sayıların sonucunu bilemiyor, 7. 8. sınıfa geldiğinizde bu saati tamamen okuyabileceksiniz diyorum

Alıntı:

---

paradoks12'den alıntı

ben bunu nasıl göremedim :) demekki gerçekten beynim sulanmış

1,2,4,8,16,3,6,12,24,19,18,7,14,28,27,25,21,13,26,23,27,5,10,20,11,22,15

buda 29 için dizilim, örüntü var gibi ama malesef yerine oturmayan taşlar var

---

sorunun etiketlerine bakabilirsiniz

Alıntı:

---

3.14159265358979323846264'den alıntı

Üzeri 1,2,3,...,11,12 diye numaralandırılmış analog bir saatin sayılarını öyle dizinizki gün içinde herhangi bir tam saatte akrebin o an gösterdiği sayı saat ile eşit değer alsın. :) :)

not: sakın beni yanlış anlamayınız. sorunuzu çok sevdim ve değerde verdim.
beynim sulanmış diye yorum yapan arkadaşımız ve diğer tüm arkadaşalrımız için ufak bi şaka sorusu yazayım dedim.
gülmek hepimizin hakkı.

---

soru benim değil, asal sayılar ve ilkel kök kavramlarının bir uygulaması sadece. 100 yıldan eski olması kuvvetli bir ihtimal. soruyu ben hazırlamış olsaydım da istediğiniz eleştiriyi yapabilirsiniz atış serbest :)

etiket olayını anlamadım??? orda yazılan başlıklarla alakalı onları araştırın demek mi? kusura bakmayın anlayamadım..
birde sorunun çözümü var mı? dizilim için ilk yarısı yani örneğin 29 asal sayısı için 28 terimli seri çıkıyor, ilk 14 terimi bulduktan sonra sonraki terimleri basit bir çıkarma işlemiyle kolayca bulabiliyorum, ilk yarıyı bulurkende bazı kurallar buldum ama dediğim gibi tam olarak yerine oturmuyor

evet etiketlerdeki konu başlıkları soruyla ilgili. birileri o konuları arattığında bu soru da karşılarına çıksın diye.
sorunun her asal sayı için çözümü var, sonuçta cevabı buldunuz isterseniz sizi daha fazla uğraştırmadan çözümü yazayım , isterseniz de yazmayayım siz ilkel kök kavramını kısaca bir araştırın.

siz çözün lütfen, çok merak ettim çözümü, ben bir yerlere varamıyacağım sanırım

peki ben bir çözüm yazayım
öncelikle saat örneğinden gidelim yani 13 için

2⁰ , 2¹ , 2² , 2³ , 2⁴ , 2⁵ , ... , 2¹¹ , 2¹²

sayılarına bakalım

bu sayılardan herhangi ardışık 3 tanesinden ortadakinin karesi diğer ikisininin çarpımına eşit olacağından 13'e (ya da herhangi bir sayıya) bölünme konusunda bir sıkıntı olmaz.

şimdi bu sayıların 13 modundaki değerlerine bakalım

1,2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7 işte aranan liste.

peki bu nasıl oldu dersek cevabı 2 sayısının 13 modunda bir ilkel kök olmasıdır deriz.
tanım: n ile aralarında asal her sayı n modunda r^k şeklinde yazılabiliyorsa , r sayısı n modunda bir ilkel köktür. bu tanımın sonucu olarak herhangi bir p asal modunda r nin 1 e denk olan en küçük kuvveti r^p-1 olur.(tersi de dopğrudur r nin ilk defa (p-1). kuvveti 1 oluyorsa r sayısı p modunda bir ilkel köktür)

tüm asal modlarda ilkel kökler bulunduğu için de bu dizilim her asal sayı için kolayca yapılabilir mesela 7 için 3 bir ilkel köktür ve ben yukarıda
3¹ , 3² , 3³ , 3⁴ , 3⁵ , 3⁶ şeklinde bir dizilim yapmıştım.

siz de 29 sayısı için 2⁰ , 2¹ , 2² ,..., 2²⁷ , 2²⁸ dizilimini yapmışsınız

tabi 7 modunda 2 bir ilkel kök olmadığı (2³=1 (mod7)) için de 2 nin kuvvetlerini dizilimde kullanamadık mesela 5 i de kullanabilirdik.

gene çok güzel bir çözüm geldi, elerinize sağlık çok begendim.... şimdi birde arı sorusu var çok hoşuma giden ama hiç bir fikir yürütemediğim bir soru

hemen ona da çözüm yazayım zaten oldukça uzun bir süre geçti.

Üstad 2 nin nasıl 13 ün ilkel kökü olduğunu izah edebilir misin?

hocam ilkel kök sadece bir tanım

bu tanım gereği r sayısı n modunda bir ilkel kökse n ile aralarında asal herhangi bir sayı n modunda r^k şeklinde yazılabiliyor demektir.

bu tanımın doğal sonucu olarak n bir asal sayıysa ve r bu asal modun bir ilkel köküyse
r^k ≡1 (mod n) eşitliği ilk kez k=φ(n)=n-1 değerinde sağlanmalıdır. (φ(n)=n sayısından küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı)

13 için baktığımızda hangi sayının ilk defa 12. kuvveti 1 e denk geliyor bunu cevaplamalıyız.
2 ile başlıyoruz 2⁶ ya baktığımızda değeri -1 olduğundan aramaya bile gerek yok direkt 2 ilkel köktür diyoruz.

p asal olmak üzere (p-1)^p ≡1(mod p) kuralı burdan geliyor demek. Bu arada Üstad, bugün bir öğretmenimize sormuşlar 2008^2009 ≡?(mod2009) Cevabı 1 mi bunun?

Alıntı:

---

MatematikciFM'den alıntı

p asal olmak üzere (p-1)^p ≡1(mod p) kuralı burdan geliyor demek. Bu arada Üstad, bugün bir öğretmenimize sormuşlar 2008^2009 ≡?(mod2009) Cevabı 1 mi bunun?

---

Alıntı:

---

MatematikciFM'den alıntı

p asal olmak üzere (p-1)^p ≡1(mod p) kuralı burdan geliyor demek. Bu arada Üstad, bugün bir öğretmenimize sormuşlar 2008^2009 ≡?(mod2009) Cevabı 1 mi bunun?

---

hocam p=2 olmadıkça hiçbir p asal sayısı için (p-1)^p ≡1 (modp) sağlanmaz.
hatta (p-1)^p ≡-1 (modp) her zaman doğrudur

sanırım Fermatın küçük teoremi ile ufak bir karışıklık olmuş, yanlış hatırlamış olabilirsiniz
teorem şunu diyor
p bir asal sayı ve n herhangi bir sayıyken
n^p ≡n (modp) , ya da (n,p)=1 ise n^(p-1) ≡1 (modp)

ifadeler çok benzer olduğundan karıştırmış olabilirsiniz.

2008²⁰⁰⁹ sorusuna gelirsek bunun için bu teoremi kullamaya da gerek yok aslında çünkü 2008 sayısı 2009 modunda çok güzel bir sayı yani (-1)

2008²⁰⁰⁹ ≡(-1)²⁰⁰⁹ ≡-1 (mod2009)

gerçi şimdi baktım 2009 asal da değil onun için Fermet teoremi yrine bunun daha genel bir hali olan Euler Teoremini kullanabiliriz (tabi bu soru için dediğim gibi bunlara gerek yok)
o terorem de a ve n aralarında asal herhangi 2 sayıyken
a^φ(n) ≡1 (modn) denkliğinin her zaman sağlandığını söylüyor.

φ(n): Euler'in fi fonksiyonu, sayının kendinden küçük ve kendisiyle aralarında asal olan sayıların sayısı