Olasılıksız Kitabındaki Bir sınıfta 3 kişinin aynı gün doğmuş olması paradoxu
Alıntı: "Olasılıksız - Adam Fawer"
Arkadaşlar aşağıda olasılıksız kitabında yer alan olasılık hesabı ile ilgili bir sorum olacak. Aşağıdaki alıntıda 3 kişinin aynı gün doğma olasılığında bir hesap hatası var sanırım. Kitapta 59 kişilik bir sınıfta 3 kişinin aynı gün doğma olasılığında bahsedilmiş ve (364/365)^59 * (363/364)^58 işlemi ile bir sonuca gidilmiş.
Burada doğru işlemin
(364/365)^59 * (364/365)^58 olması gerekmez mi?
"Aferin," dedi Doc ellerini yine kavuşturarak. "Seninle benim aynı gün doğma olasılığımız nedir?"
"Binde 3 civarında."
"Normal insanlara, bu sonuca nasıl ulaştığını açıklar mısın?"
"1'İ 365'e bölerek."
"Aferin. Hepimiz yılın 365 gününden birinde doğduğumuza göre seninle benim aynı günde doğma olasılığım 365'de 1." Doc dönüp tahtaya yazdı:
1/365 = 0.003 = 0.3%
"Herkes bunu anladı mı?" "Tamam, o zaman bizim aynı günde doğmadığımız konusunda iddiaya girmek istesem bunu kabul ederdin heralde, değil mi?"
"Evet."
"Bu akıllıca bir iddia olurdu; büyük olasılıkla da kazanırdın. Benim doğum günüm 9 Temmuz. Seninki ne?"
"18 Ekim."
"İşte. Demek ki aynı günde doğma olasılığımız 365'te 1; doğmama olasılığımız ise 365'te 364'tü. Şimdi bu sınıftaki başka hiçkimseyle doğum gününün aynı olmama olasılığının ne olduğunu söyle bana."
Caine bir an düşündü, sonra başını kaldırdı. "Yüzde 14.9."
"Doğru, peki bu sonuca nasıl ulaştığını açıkla.
"Eğer sınıftaki herhangi biriyle aynı günde doğmuş olma olasılığımı hesaplamak istersek, ilk önce sınıftaki59 kişiyle aynı günde doğmadığım olasılığını hesaplamam gerekir. Yani (364/365)^59. Bu da sınıftaki herhangi biriyle aynı günde doğmadığım hesabını, 59 kere kendiyle çarpmak demek."
Caine konuşurken Doc yazıyordu.
Olasılık (herkesin farklı bir günde doğduğu) =
(364/365)^59 = %85.1
"Bu yüzden de," diye devam etti Caine, "bu sınıftaki kimseyle aynı gün doğmadığım olasılığı yüzde 85.1 ise; o zaman aynı gün doğduğum olasılığı da yüzde 14.9'dur."
Olasılık (aynı gün) = 1 - olasılık (farklı gün)
=%100 - %85.1
=%14.9
"Şimdi, geriye dönelim bakalım. Seninle aynı gün doğmadığımızı biliyoruz. Peki, ikimizin de bu sınıfta başka hiçkimseyle aynı günde doğmamış olma olasılığı nedir?"
Caine boğazını temizledi. "İlk önce benim kimseye aynı günde doğmadığım olasılığını hesaplarız -bunun %85 olduğunu biliyoruz zaten- sonra da aynı hesabı sizin için yaparız, ayrıca aynı günde doğmadığımızı da dikkate alırız."
"Gel de göster ne demek istediğini."
"Peki," dedi Caine sınıfa dönerek. "Ne diyordum... evet Doc'un ve benim doğum günlerimiz aynı gün değil. Bizimle aynı günde doğmuş başka birinin olma olasılığını hesaplamak için, ilk önce Doc'un sınıftaki başka biriyle aynı günde doğmuş olma olasılığının ne olduğunu hesaplamak gerekir. Birazz önce yaptığımız hesabı yapıyoruz, ama bu sefer 363'ü 364'e bölüyorum. Neden? Çünkü Doc'un benimle aynı günde doğmadığını biliyoruz zaten. O zaman bir günü eledim. Bunu da 58 kişiyle ele alıyorum, 59'uncu benim. Bu yüzden de Doc'un sınıfta başka herhangi biriyle aynı günde doğmamış olma olasılığı yüzde 85.3."
Olasılık (Doc- farklı bir günde) = (363/364)^58
= %85.3
"Şimdi, bizim ikimizin de kimseyle aynı günde doğmamış olma olasılığını hesaplamak için, iki olasılığı birbiriyle çarpacaksınız."
Olasılık(Caine ve Doc - herkesten farklı günler) =
= Olasılık(Caine farklı) * Olasılık(Doc faklı - Caine hariç)
= (364/365)^59 * (363/364)^58
= (%85.1) * (%85.3)
= %72.5
"Hem Doc'la hem de benimle aynı günde doğan birinin olmama olasılığı %72.5. Yani böyle birinin olması olasılığı %27.5."
Olasılık(C&D aynı gün) = 1 - Olasılık(farklı gün)
= %100 - %72.5
= %27.5