Artan ve Azalan Fonksiyonlar, Konvekslik, Konkavlık, Ekstremum ve Dönüm Noktaları
*Bir fonksiyonun bir aralıkta eğimi pozitifse fonksiyon o aralıkta hep artandır.
*Bir fonksiyonun bir aralıkta eğimi negatifse fonksiyon o aralıkta hep azalandır.
*Hep konveks ya da hep konkav olarak artan fonksiyonların tüm noktalarındaki türevleri pozitiftir.
*Hep konveks ya da hep konkav olarak azalan fonksiyonların tüm noktalarındaki türevleri negatiftir.
*Sabit fonksiyonların grafikleri x eksenine paralel doğrular olduğundan, bu doğruların üzerindeki herhangi bir noktadan fonksiyona çizilen teğet, doğruların kendisi olup eğimi 0’dır.
*Bir fonksiyonun belli bir aralıkta her noktasındaki türevi pozitifse, fonksiyon o aralıkta hep artandır ama tersi her zaman doğru değildir. Bir fonksiyon belli bir aralıkta hep artansa, o fonksiyonun her noktasındaki türevi pozitiftir denemez, bazen 0 da olabilir.(y=x3) Bu durum artanlığı bozmaz çünkü eğri üzerinde her zaman apsisler artarken ordinatlar da artmaktadır. Yani türevin 0 olduğu nokta sayısı sonluysa fonksiyon daima artandır.
*Bir fonksiyonun belli bir aralıkta her noktasındaki türevi negatifse, fonksiyon o aralıkta hep azalandır ama tersi doğru değildir. Bir fonksiyon belli bir aralıkta hep azalansa, o fonksiyonun her noktasındaki türevi negatiftir denemez, bazen 0 da olabilir. (y=−x3) Bu durum azalanlığı bozmaz çünkü eğri üzerinde her zaman apsisler artarken ordinatlar azalmaktadır. Yani türevin 0 olduğu nokta sayısı sonluysa fonksiyon daima azalandır.
*Eğer sonlu sayıda değil, sonsuz sayıdaysa, grafik bir yerlerde tamamen yatay konumda (x eksenine paralel) olacaktır ki, farklı iki apsis aynı ordinatı vereceğinden artanlıktan/azalanlıktan söz edilemez.
*Bir fonksiyonun daimi artan olması için her noktasında birinci türevinin pozitif veya 0 olması, 0 olduğu noktaların da sonlu sayıda olması gerekir. Örneğin 3. dereceden bir fonksiyon düşünelim.
y=x3−ax2+12x+15 Bu fonksiyonun daimi artan olması için a’nın aralığını bulalım.
y=x3−ax2+12x+15
y ’ =3x2−2ax+12>=0 denklemini çözelim. Bunun için a>0 ve delta<=0 olmalı. Böylelikle a’nın aralığı -6<=a<=6 olarak bulunur. Şimdi a’yı bu aralıkta, bu aralığın uç noktalarında ve bu aralığın dışında seçip oluşan fonksiyonlara bir bakalım. a’yı bu aralıkta seçersek fonksiyon artan, dönüm noktasına sahip bir fonksiyon oluyor. Dönüm noktasında 1. türev 0 değil.(y’, x eksenini kesmeyen ve eksene teğet olmayan x ekseninin üzerinde bir parabol) Eğer a’yı aralığın uç noktalarından seçersek fonksiyon dönüm noktasına sahip ve dönüm noktasında 1. türev 0 oluyor.(y’, x eksenine teğet, x ekseninin üzerinde bir parabol. Tüm değerleri 0’dan büyük, bu, fonksiyonun artan olduğunu gösteriyor yani teğetlerin eğimi hep 0’dan büyük, x eksenine teğet olduğu yerde de y değeri, yani eğim 0 ama bu artanlığı etkilemiyor nedenini yukarda açıklamıştık.) Eğer a’yı bu aralığın dışında seçersek fonksiyon ekstremum noktalarına sahip oluyor ve azalan olduğu aralık ortaya çıkıyor.
*Rasyonel fonksiyonlarda daimi artanlık için ad-bc>0, daimi azalanlık için ad-bc<0, sabitlik için ad-bc=0 olmalı.(sabit fonksiyonda fonksiyon bir reel sayıya eşit olacak ve türevi her noktada 0 olacak.)(ax+b/cx+d fonksiyonu için)
*Negatif ya da pozitif tanımlı demek fonksiyonun bahsedilen aralıkta aldığı y değerlerinin işaretinden söz etmek demektir.
*Bir fonksiyonun ekstremum noktalarında türevi varsa, kesinlikle 0’dır.
*Türevin 0 olmadığı (daha doğrusu türevin olmadığı) kırılma noktaları ekstremum noktaları olabilir.
*Türevin 0 olduğu her nokta ekstremum noktası değildir. Mesela sabit fonksiyonlar. Türev hep 0. Ama tepe, çukur yok.
*Sonuç olarak ekstremum noktası olmak, o noktada türevli olmayı gerektiren bir olay değildir. Ancak nokta ekstremum noktasıysa ve türev varsa kesinlikle 0’dır.
*Bir fonksiyonun türevinin 0 olduğu noktada, türev fonksiyonun çift katlı kökü varsa, yani türevin işareti değişmiyorsa, o nokta ekstremum noktası değildir.(y=x3)
*Bir noktanın ekstremum noktası olması için o noktanın 2. türevinin 0’dan farklı olması gerekir. y=x3 fonksiyonun x=0’da 1. türevi 0, ancak 2. türevi de 0. 2. türevin 0 olması demek fonksiyonun o noktasının ekstremum noktası olmadığını söylemeye yeter. Bu yüzden bir noktanın ekstremum olması için o noktanın 2. türevinin 0’dan farklı olması gerekir. İlk türev 0, ikinci türev negatif ise nokta yerel maksimum; ilk türev 0, ikinci türev pozitif ise nokta yerel minimumdur. İki türev de 0 ise nokta dönüm noktasıdır.
*Konkav artan fonksiyonlarda fonksiyonun türevi azalan bir fonksiyon oluyor.(Teğetlerin eğimi gittikçe azalıyor.) Azalan bir fonksiyonun türevi negatif olduğundan konkav artan fonksiyonların ikinci türevi negatiftir, benzer yorumla konveks artan fonksiyonların ikinci türevi pozitiftir.
*Konkav azalan fonksiyonlarda fonksiyonun türevi azalan bir fonksiyon oluyor.(Teğetlerin eğimleri gittikçe azalıyor.) Azalan bir fonksiyonun türevi negatif olduğundan konkav azalan fonksiyonların ikinci türevi negatiftir, benzer yorumla konveks azalan fonksiyonların ikinci türevi pozitiftir.
* Dönüm noktasında türev tanımlı olmayabilir.
* f’’(a)=0 ise a noktası dönüm noktası olmayabilir.(Çift katlı kök olursa gibi.)
* Fonksiyonun dönüm noktası varsa ve bu noktada türev varsa kesinlikle 0’dır.
