Cebirsel sayılar ve Aşkın Sayılar Nedir ?

Birkaç dahiyi istisnadan sayarsak matematik eğitimi herkes için sayı saymakla başlar diyebiliriz. Sayılar, genellikle okul öncesi çağda ezberlenir. Yeni bir dil öğrenmeye başlanıldığında ilk birkaç dersten biri sayılara ayrılır. Matematik denince akla ilk sayılar gelir ve hatta pek çoğumuza göre matematik sadece sayıların etrafında dönmektedir. Matematiksel bir kuram üzerine yazılmış bir kitabın sayfalarını çevirmek bile matematiğin sadece sayıların etrafında dönmediğini farketmenize yardımcı olacaktır. Ama şu da yadsınamaz bir gerçek ki, sayılar, matematiğin önemli bir parçası ve sadece matematikçilerin değil, tüm insanlığın ilgisini çeken çok özel bir konu. Yalnızca asal sayılara olan ilgi bile bu fikri desteklemeye yeterli.

Bir iki üç

Saymaya önce 1’den başladık: bir, iki, üç… Kim sıfırdan başlar ki? Sıfırın sayma sayılarından çok sonra bulunmasına şaşırmamak lazım. Sonsuza uzayıp giden bu kümeye ‘sayma sayıları’ adını verdikten sonra sıfırı da ekleyerek ‘doğal sayılar’ kümesini oluşturduk. Tabii bu küme de insanoğlunun ihtiyaçlarını karşı lamaya yetmedi. Fazlasını düşündüğümüz kadar eksiğini de düşünmemiz gerektiğinden, sıfırın öncesini yani negatif sayıları da kümemize ekledik. Oluşan kümenin adını da ‘tamsayılar kümesi’ koyduk. Sonu gelmeyen istek ve ihtiyaçlar sayılar kümesini alabildiğine genişletti. Buçuklular, çeyrekler derken rasyonel sayılar da bir gün tarih sahnesine çıktı.

Pisagorcular ve İrrasyoneller

Aksi ispatlanıncaya dek bütün sayıların rasyonel olduğu, yani m ve n (n sıfırdan farklı) birer tam sayı olmak üzere, m/n şeklinde yazılabildiği zannedilmiş.Bu Şkri özellikle güçlü bir şekilde savunan Pisagor, tüm sayıların rasyonel olduğunu mantık yoluyla ispatlamaya çalışmışsa da başarılı olamamış. Dik kenarları 1 olan ikizkenar dik üçgene pisagor teoremi uygulanınca elde edilen (hipotenüs uzunluğu) https://chart.apis.google.com/chart?...sqrt%7B2%7D%20, pisagor okulu öğrencilerinin şüphelenmesine neden olmuş. Hikayeye göre Pisagorculardan Hippasus bu sayıyı m/n şeklinde ifade etmeye çalışırken asla öyle iki m ve n tamsayısı bulunamayacağını, yani sayının rasyonel olmadığını ispatlamış. Bu çalışması Hippasus’a pahalıya mal olmuş, çünkü irrasyonel sayıların varlığını bir türlü kabullenemeyen Pisagor, bu durumun fazla yayılmaması için Hippasus’un denizde boğularak öldürülmesi emrini
vermiş. Tahmin edileceği üzere kısa vadeli bu çözüm irrasyonellerin varlığının yayılmasına engel olmaya yetmemiş.

Daha Bitmedi

İrasyonellerle birlikte gerçel (reel) sayılar kümesi tamamlanıyor. Yani bir sayı doğrusu üzerindeki tüm noktalara bir isim veriyoruz.

Lise 2’ye kadar olan matematik eğitimimiz boyunca karşımıza çıkan bu sayılar, emektar sayı doğrusunu tümüyle örttüğünden, başka bir sayı kümesinin var olduğunu düşünmeye gerek bile duymadık. Yeni bir türün hayal gücümüzün sınırlarını zorlayacağı açıktı. Doğrumuzda tek bir sayıya
bile yer kalmamıştı, onları nereye koyabilirdik ki? Neye benziyorlardı ya da hangi amaca hizmet ediyorlardı şeklindeki soruları belki de düşünmeye fırsatımız olmadan kendileriyle bir gün ansızın tanıştırıldık: Karmaşı k (kompleks) sayılar. Amaç, x²+1=0 örneğinde olduğu gibi pek çok denklemi çözümsüz bırakmamaktı. Karesi negatif olan hiçbir gerçel sayı olmadığından bu denklem çözümsüz kalıyordu. Matematikçiler, “karesi negatif olan sayı gerçel değilse sanal olmalı” dediler ve İngilizcesi ‘imaginary’ olan sanal kelimesinin baş harfini alarak, karesi -1 olan i sayısını ortaya attılar: i²=-1. Artık sayı doğrusu tek boyutlu olmaktan çıkmış, iki boyutlu bir uzay şekline dönüşmüştü ve bundan sonra her polinomun mutlaka en az bir kökü olacaktı.



Cebirsel Sayılar

Bu yazımızda yeni bir sayı türünden bahsetmeyeceğiz, ama mevcut sayı kümemizi farklı bir tanım kullanarak sınıflandıracağız. Şu an için elimizdeki
bir sayı ya rasyonel ya da irrasyonel; yani sırasıyla ya m/n (https://chart.apis.google.com/chart?...n%20%5Cneq%200 ve https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cepsilon%20Z ) şeklinde yazılabiliyor ya da yazılamıyor. Bu yeni sınıflandırma için bir tanım yazalım ve onu sağlayan sayılara yeni bir isim, sağlamayanlara farklı bir isim verelim.
Tam katsayılı bir polinomun
a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀
kökü şeklinde yazılabilen sayılara cebirsel sayı denir. Hemen karmaşık sayı i’nin cebirsel olduğunu söyleyebiliriz; ne de olsa kendisinin tanıma uygun x²+1=0 polinomunun kökü olarak doğduğunu az önce belirttik. Hatta tüm rasyonel sayıların da birer cebirsel sayı olduğu açıkça görülebilir.
Her rasyonel sayı tanım gereği m/n şeklinde yazılabilir ve nx-m=0 polinomunun bir köküdür. Burada dikkati çeken bir özellik de, rasyonellerin birinci dereceden bir polinomun kökü olarak yazılabilir olması. Kökü olarak yazılabildiği en küçük katsayılı polinomun derecesi, aynı zamanda cebirsel sayının derecesini belirtir. Bu anlamda derece, ayırt edici bir özelliktir. Örneğin rasyonel sayılar birinci dereceden cebirsel sayılardır. İrrasyonellik özelliğiyle meşhur olan https://chart.apis.google.com/chart?...sqrt%7B7%7D%20 gibi kök içindeki asallar da, ikinci dereceden cebirsel sayılardır. Söz gelimi https://chart.apis.google.com/chart?...sqrt%7B2%7D%20, x²-2=0 polinomunun köküdür; daha küçük katsayılı bir polinomun kökü olarak ifade edilemez. Rasyonel sayıların tamamının ve irrasyonellerin bir kısmının bu kümeye dahil olduğuna tanık olduktan sonra akla gelen en doğal soru şu: cebirsel olmayan sayılar var mı?

Aşkın Sayılar

“Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayılar denir” tanımı hazırdı ve işin en kolay kısmıydı. Aşkın sayıların varolduğu da sezilmekteydi. Problemin en zor kısmı, böyle bir sayıyı somut olarak ortaya çıkarmak ‘işte bu bir aşkın sayıdır’ demekti. Bu konuda en büyük şüpheyi üzerlerine çeken iki sayı e ve π olmasına karşın, sürpriz bir şekilde aşkın olduğu ispatlanan ilk sayı onlardan biri değildi. 1844’de Joseph Liouville aşkın sayıların karakteristik özellikleri üzerine verdiği temel bir teoremle Liouville sabiti olarak anılan ve n! inci ondalık basamakta 1, kalan basamaklarda 0 alan şu aşkın sayıyı matematiğe kazandırdı:
https://chart.apis.google.com/chart?...00000010000...
e ve π’nin aşkınlığı sırasıyla 1873’de Charles Hermite ve 1882’de Ferdinand von Lindemann tarafından ispatlandı.

Hangisi Daha Büyük?

Aslında burada akıllara takılması beklenen başka bir soru daha var: Cebirsel sayılar kümesinin mi yoksa aşkın sayılar kümesinin mi eleman sayısı daha fazla? Aşkın sayılara ilişkin örnekler az olduğundan mıdır bilinmez, ilk bakışta bu kümenin daha küçük olduğu düşünülür. Oysa, aşkın sayıların miktarı cebirsel sayılardan daha fazladır. Elimizdeki kümelerin ikisi de sonsuz miktarda eleman içerdiğinden, biri diğerinden şu kadar
fazla şeklinde bir karşılaştırma beklemeyin. Bu konuya ışık tutan George Cantor’un yaptığı çalışmayı basit bir dille şöyle özetleyebiliriz: Öncelikle gerçel sayıların miktarı tam sayılardan fazladır. Çünkü ilki sayılamayan, ikincisi de sayılabilen bir kümedir. Cebirsel sayılar, sayılabilir bir kümedir çünkü tam katsayılarla oluşturulduğ undan tam sayılarla birebir eşlenebilir. Bu da gerçel sayılardan cebirselleri ayırınca geriye kalan aşkın sayılar kümesinin sayılamaz olmasını gerektirir. Aksi takdirde, gerçel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu sonucuna varırız; ki, bu da bir çelişkidir.

Kaynak:Bilim ve Teknik Dergisi