Ardışık 39 doğal sayı içinde rakamları toplamı 11 ile bölünen bir tane sayının her zaman bulunduğunu gösteriniz.
Hiçbirinin rakamları toplamı 11 ile bölünmeyen 38 ardışık sayı bulunuz.
Yazdırılabilir görünüm
Ardışık 39 doğal sayı içinde rakamları toplamı 11 ile bölünen bir tane sayının her zaman bulunduğunu gösteriniz.
Hiçbirinin rakamları toplamı 11 ile bölünmeyen 38 ardışık sayı bulunuz.
sorudaki 39 ve 38 ardışık sayı seçenekleri yerine 29 ve 28 olsaydı ne kadar kolay olurdu...
38 çok sabri bey pazarlık yapamıyormuyuz mesela 34 te anlaşsak ben yazarım :)
inanın maliyetini kurtarmaz hocam.
bunun yerine ben size 38 için örnek vereyim siz 39 üzerine uğraşmaya devam edersiniz.
999981,999982,...,1000018 sayıları bunu sağlayan en küçük örnek.
en küçük eleman 999981 ve bunun soniki rakamı 00 olan 1000000 sayısı ile aralarındaki fark 19
en küçük ardışık sayının son iki basamağı 00 olan yani 100.k şeklinde yazılan elemanla aralarındaki fark 19 olmayan 38 elemanlı bir örnek yazabilirmisiniz?
bu istek belki çözüm yapmak isteyenlere bir ipucu olur:)
hayır yazamayız
9 larla bitenin en küçükten 18 fazla olması 38 elemanlı durum için bi şart.
Tüme varım kullanalım...
abcdefg........klm0 doğal sayısı son basamağı sıfır olan bir doğal sayı olsun. bu doğal sayının rakamları toplamına k dersek, abcdefg.....klm9 doğal sayısına kadar giden kısımda rakamlar toplamı için k dan k+9 a kadar giden ardışık doğal sayılar elde ederiz. çetrefilli kısım burda başlıyor... sondan bir önceki basamak 9 dan küçük olsun. bu durumda 11. sayının rakamları toplamı k+1 olacaktır. 11. sayıdan 20. sayıya kadar olan kısımda k+1 den başlayıp k+10 a kadar giden ardışık sayılar elde ederiz ki buraya kadar elde ettiğimiz sayılar içersinde mutlaka 11 e bölünen bir sayı olacaktır.(ardışık 11 sayı içersinde 11 e tam bölünen bir sayı olmak zorundadır.) sıfırdan önceki kısımda t tane basamak dokuz olsun. bu durumda 11. sayının rakamları toplamı {k-[(t-1)*10+8]}=[k-10t+2] ifadesi elde edilir. dikkat edilirse elde edilen bu sayının son t tane basamağı sıfırdır. O hbalde kendisiyle birlikte ardışık olarak yazılıcak 20 sayıdan en az biri için istenen durum gerçekleşecektir. (yukarda kanıtladık.) O halde son basamağın sıfır olması durumunda yazılacak otuz ardışık sayıdan en az biri için istenen durum geçerlidir. peki ya son basamak sıfır olmazsa? son basamak a olsun. bu durumda a ile başlayan ve a+9 a kadar giden (a+9 dahil) ardışık sayılardan en az birinin son basamağının 0 olacağını biliyoruz. ve sıfırlı ifadeden itibaren 30 ardışık sayıdan en az biri için istenen durumun gerçekleştiğini biliyoruz. Bu durumda ardışık 39 sayı için ispat tamamlanmış olur. şimdi 38 sayıyı bulmaya çalışalım. son basamağın 1 olması gerektiği görülüyor. ve sondan bir önceki basamağın ise 8 olması gerekiyor ki 10. sayıda son iki basamak 9 ve sıfır olsun. baştan sona kadar olan kısmın tamamının 9 olması gerektiği de görülüyor ( ki bir sonraki sayının rakamları toplamı 1 olsun!). bir tek pürüz kalıyor. o da şu. 99999.....0 şeklinde belirtilen bir sayının rakamları toplamını 11 e böldüğümüzde 1 kalanını vermeli... n*9≡1 (mod11). n=11k+5 bulunur. o halde sayımızı 999981 alabiliriz :cool: