Genelleştirilmiş İntegraller

1-)

∫

1

0

1

x-1

yakınsak olmadığını gösteriniz.

2-)

∫

1

0

1

(x-1)²

yakınsak olup olmadığını gösteriniz.

Şimdiden teşekkürler.

1)x=1 dersek 1/0 olur.
ozaman x'e 1den biraz küçük değerler yazmalıyız.
x=0.9 1/(0.9-1)=-10
x=0.99 1/(0.99-1)=-100
1e daha yaklaşıtkça sonuç küçülmekdedir.
1de -∞ olacaktır.

2. soru içinde benzer yorum yapılabilinir.

1
İntegral ikinci tip genelleştirilmiş integraldir,tek sorun sınırlardan birinin 1 olmasıdır..
Yukarıda denildiği gibi 1'e küçük değerlerle yaklaşalım limit kullanarak..

lim

t→1^-

∫

t

0

1

x-1

lim

t→1^-

ln|x-1| sınırlar da 0 ve t olacak..




Buradan

lim

t→1^-

(ln|t-1|-0) =

lim

t→1^-

(ln|t-1|)

bulunur ki t değerini yerine koyarsak,sonuç ln0 çıkacaktır..Bu da yukarıda yazıldığı gibi -∞ bulunur,ıraksak olduğu kanıtlanmış olur..

2.soru için sanırım ikinci tip genelleştirilmiş integraller için yakınsaklık testlerinden karşılaştırma testini kullanırsak soru çıkacak..
f(x)≤g(x) olmak üzere f(x) ıraksak ise g(x) de ıraksaktır..Burada ilk sorudaki ifadeye
f(x),diğerine g(x) der ve f(x)'i g(x)'e benzetmeye çalışırsak (sadece karesi alınmış) bunun da ıraksak olduğu kanıtlanacaktır..