1) (-1,3) ve (6,-4) noktalarından geçen doğru y=a/x-1 egrisine teğet olduğuna göre a kaçtır? 1/4
2) bir kenarı y=8 doğrusu üzerinde diğer iki köşesi de y=x³ ve y=-x³ eğrileri üzerinde olan ve Ox ekseninin üst tarafında kalan bölgeye cizilebilecek en büyük alanlı dikdortgenin uzun kenarı kaç birimdir? 6.
3) ∫ dx/ 1+ e^-x integralinin değeri nedir? ln|1+e^x| +c
4) ∫ [tan|lnx| / x] . dx integralinin eşiti nedir? ln|sec|lnx||+c
5) ∫ ln (x+2) dx integralinin eşiti nedir? (x+2). [ln|x+2|-1] +c
1)
Doğrunun denklemini y+x-2=0 olarak bulabiliriz. Görüldüğü gibi doğrunun eğimi -1.
Teğet noktası bu doğruyu sağlar. Bu noktaya T(m,2-m) diyelim.
Bu nokta fonksiyonu sağlar.
2-m=am-1
Buradan a=(2-m).(m-1)=-m²+3m-2 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevini alalım.
f'(x)=-a(x-1)²
x=m noktasında türev fonksiyonu doğrunun eğimini verir.
f'(m)=-1=-a(m-1)²
Buradan a=(m-1)²=m²-2m+1 olarak bulunur.
Şimdi bulduğumuz 2 a değerini birbirine eşitleyelim.
m²-2m+1=-m²+3m-2
2m²-5m+3=0
(2m-3).(m-1)=0
Buradan m=3/2 ve m=1 bulunur. Fakat x=1 değeri fonksiyon ile türev fonksiyonunu tanımsız yapıyor. O nedenle m=3/2 olarak seçeriz.
a=(m-1)² Bu eşitlikte m yerine değeri yazarsak;
a=(32-1)²
a=(12)²=14olarak a değerini buluruz.
2)
Dikdörtgenin köşelerini A(a,a³) B(-a,a³) C(a,8) D(-a,8) olarak alalım.
Buradan görüldüğü gibi dikdörtgenin bir kenarı 2a, diğer kenarı 8-a³ oluyor.
Alan fonksiyonunu a ya bağlı olarak yazarsak;
A(a)=2a.(8-a³)
A(a)=16a-2a⁴
Bu fonksiyonun türevini alalım.
A'(a)=16-8a³
Bu türev fonksiyonunu 0 a eşitlersek;
16-8a³=0
2-a³=0
a³=2
a=∛2 olarak buluruz.
Dikdörtgenin kenarları ise;
2a=2∛2
8-a³=8-2=6 şeklindedir.
Eline sağlık nymphe. Emeğin büyük.
Çok teşekkür ederim:)