Moduler Aritmetik

1) (11)²⁰⁰³ sayisinin onlar basamagindaki rakam kactir?(3)

2) 7^x - 13^x = 4 (mod 10) denkligini saglayan x in en buyuk negatif tamsayi degeri kactir?(-3)

3) 4⁽³²⁴⁷⁾ ≡ x (mod 11) old gore x kactir?(5)

4) 1¹⁹⁹⁷ + 3¹⁹⁹⁷ + 5¹⁹⁹⁷ +......+(1997)¹⁹⁹⁷ = m sayisinin birler basm. Rakam kactir?(1)

5) Z/9 da
√7 + (5)^-1 -2 isleminin sonucu kac olabilir?(4)

euler teoremi:
a ve n aralarında asal sayılarken a^phi(n)≡1 (mod n)
phi(n) n den küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı.

1.
phi(100)=100.(1/2).(4/5)=40 olduğundan ve 11 ile 100 aralarında asal olduğundan euler teoremine göre 11⁴⁰≡1 (mod100)
→ 11²⁰⁰³≡11²⁰⁰⁰.11³≡1.21.11≡231≡31 (mod100)
yani onlar basamağı 3 bulunur

2.
7^x-13^x≡7^x-(-7)^x=4 (mod10) verilmiş
burada x çift olursa sonucun 0 olacağı açıktır. x tek olmalıdır.
x tek ise 7^x-(-7)^x=2.7^x=4 (mod10) elde edilir
7^x=2 veya 7 (mod10) arıyoruz
x=4k+1 şeklinde olduğunu buluruz
k=-1 için istenen sayı -3 olarak bulunur.

3.
11 ve 4 aralarında asal olduğu için euler teoremine göre ya da 11 asal olduğu için fermat teoremine göre 4¹⁰≡1 (mod11) olur
3²⁴⁷ yi 10 modunda incelersek 3 ve 10 aralarında asal olduğundan ve phi(10)=10.((2-1)/2).((5-1)/5)=4 (2 ve 5 10 sayısının farklı asal çarpanları) olduğundan euler teoremine göre
3⁴≡1 (mod10) bulunur (gerçi bunu deneyerek de kolayca bulabiliyoruz)
3²⁴⁷≡3²⁴⁴.3³≡1.27≡7 (mod10)
sonuçta verilen ifade ≡ 4⁷ (mod11) elde edilir
4²=5 olduğundan 4⁷≡5.5.5.4≡125.4≡4.4≡5 (mod11) bulunur

4.
1¹⁹⁹⁷ yi kenara ayırıp diğerlerini baştan ve sondan eşleştirirsek
3¹⁹⁹⁷+1997¹⁹⁹⁷=3¹⁹⁹⁷+(-3)¹⁹⁹⁷=0 (mod10)
5¹⁹⁹⁷+1995¹⁹⁹⁷=5¹⁹⁹⁷+(-5)¹⁹⁹⁷=0 (mod10)
...
kısaca birbirleriyle eşleşenler sadeleşeceğinden bu toplamın 10 modundadaki değeri 1 olacaktır yani son basamak 1 bulunur

5.
(√7)+(5)^-1-2
≡(√(7+9))+(1/5)-2
≡(√16)+((1+9)/5)-2
≡4+2-2≡4 (mod9) bulunur

Sagolasin

Ben 2. Soruda
X=4k+1 nereden geldi bu kısmı anlayamadım, anlatabilirmisiniz..