Homoteti dönüşümü

Dönem ödevinden:

Homoteti dönüşümü
Düzlemde M bir sabit nokta K € R olmak üzere P’=M+k.(P-M) eşitliğini sağlayan P’ noktasına P’nin M merkezli k oranlı homotetiği denir.
H:R2 R2 , H (P) : P’ = M+k.(P-M) dönüşümüne M merkezli k oranlı homotetiği denir.
Bir P noktasından,verilen bir (K) eğrisini A noktasında
kesen bir doğru çizilir ve bu doğru bir A’ noktasıyla
|PA’|= k oranında bölünürse,A’noktasınıngeometrik|PA| yeri verilen (K) eğrisine benzer olan bir (K’) eğrisidir.
(Benzerlik Oranı k)
https://img638.imageshack.us/img638/6296/mathomotet.jpg
Bu iki eğriye birbirine benzer ve benzer konumludur veya kısaca homotetiktir denir.P ye homoteti merkezi,P den geçen doğrulara homoteti ışını denir. Aynı bir ışın üzerinde bulunan,eğrilerinAi ve A’i noktalarına homolog noktalar denir.Homolog noktaları birleştire doğrulara da homolog doğrular denir.Homoteti yerine merkezli benzerlik kullanıldığıda olmuştur.

• Bir doğru veya bir çemnerin homotetiği bir doğru yada bir çemberdir.
• Bütün homoloğ doğrular birbirine paraleldir.
• Bütün homolog açılar birbirine eşittir.
• Bütün homolog doğru parçalarının oranı k dır.Şekiller k oranında birbirine benzerdir.
https://img815.imageshack.us/img815/...athomotet2.jpg
https://img5.imageshack.us/img5/2238/mathomotet3.jpg
Homoteti Dönüşümü İle İlgili Önemli Teoremler
Teorem (Üç Homoteti Merkezi Teoremi)
İkişer ikişer benzer olan üç şeklin be homoteti merkezleri doğrusaldır.
OIJ homoteti merkezi için I şeklindeki bir noktayı J şeklinde karşılık gelen noktaya birleştiren ışın homoteti merkezinden geçer. (I,J=1,2,3)
Aynı mantıkla şekillerin her noktasını I J sıralamasına göre birleştiren doğrular homoteti merkezinden geçer.
Örneğin 1 ve 2 üçgenlerinin ağırlık merkezinden geçen doğru,O 12 homoteti merkezinden geçer.
Bu üç homoteti merkezini taşıyan doğruya üç şeklin benzerlik ekseni denir.
https://img703.imageshack.us/img703/...athomotet4.jpg
Sonuç 1:
Eş olmayan farklı merkezli herhangi iki çember,merkezil benzerdir (homotetiktir):
Bu iki çemberin 4 tane benzerlik ekseni vardır.
https://img705.imageshack.us/img705/...athomotet5.jpg
M1,M2 merkezli e r1,r2 yarıçaplı iki çemberin homoteti merkezlerinin ve homoteti eksenlerinin bulunuşu;[A2A’2]//[M1A1] olmak üzere çemberlerin çapları alınır.A1A2 doğrusu ile merkezleri taşıyan doğrunun arakesiti O1 dış homoteti merkezidir.A’2A1 doğrusu ile merkezleri taşıyan doğrunun arakesiti O2 iç homoteti merkezidir.O1 homoteti merkezinden çemberlere çizilen ortak dışteğetler,O2 merkezinden çizlen ortak iç teğetler homoteti eksenidir.

Sonuç 2:
Herhangi ikisi eş olmayan üç çemberin merkezleri doğrusal değilse,ikişer ikişer alınan bu çemberlerin altı homoteti merkezi üçer üçer,dört doğru üzerinde bulunur. (Dört tane homoteti ekseni vardır).
Sonuç 3:
Bir çeşitkenar üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri doğrusaldır.
https://img199.imageshack.us/img199/...athomotet6.jpg
*Bir üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri,üçgenin kenar uzantıları üzere olduğuna dikkat ediniz.
Sonuç 4:
Çeşitkenar bir üçgenin iç açıortaylarının ayaklarınıı taşıyan doğrular,üçgenin dış teğet çemberlerin homoteti merkezlerinden geçer.
https://img685.imageshack.us/img685/...athomotet7.jpg
Sonuç 5:
Bir üçgenin dış teğet çemberlerinin homoteti merkezleri,üçgenin iç açıortay ayaklarını taşıyan doğru ile üçgenin kenar uzantılarının kesiştiği noktalardır.