Mutlak Değer Sorular

Değerli Hocalarım,
Çözemediğim soru tipleri hep aynı.Toplama,çıkarma işlemlerinde sonucu bulamıyorum.
Çeşitli kitaplada ve nette konu anlatım videolarını izledim.Edindiğim bilgiler şu şekilde

1. |x-a|+|x-b| ifadesi için en küçük değer a≤x≤b

2. |x+a|-|x+b|ifadesi için
en büyük değer x+b=0 x=-b
en küçük değer x+a=0 x=-a

3. K=|x-a|-|x-b|olmak üzere
k'nın en küçük değeri x=a
k'nın en büyük değeri x=b

4. |x+a|+|x+b|=c eşitliliğinde çözüm kümesi -b≤x,-b≤x≤a, ve x>-a durumları için incelenir.


----------------Sorular hakkında------------------------
Soru1.)Yukarıda yazdığım bilgiler doğrumudur?Yanlışsa doğrusu nedir
Soru2.) toplama veya çıkarma işleminde mutlağın içindeki yada dışındaki işaret (|x+a|+|x+b| yada |x-a|-|x-b| gibi)olduğunda yapılacak işlem nedir?Fark edermi işaretin - yada + olması

Soru 3.)|x+a|+|x-b| şeklindeki ifadelerde işlem nasıl yapılır.

Soru 4.)|x+2|+|x+6| =9 denkleminin büyük kökü,küçük kökünden ne kadar büyüktür.
8/9/10/11/12

Soru 5.)|x+5|+|x-3| ≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
(-∞,-1]/[-5,-3]/[0,3]/[3,∞]/[-5,∞]

Sorduğunuz sorulardan mutlak değer tanımını, mutlak değer fonksiyonunun ifade ettiği şeyi pek anlamamış olduğunuz sonucunu çıkarıyorum. Bu nedenle konuyu en baştan anlatmayı uygun buldum.

Sayıların pozitif veya negatif olmalarının sadece bir yön anlaşması olduğunu düşünürsek, bizim için yönlerin önemsiz olduğu durumlarda, pozitif veya negatif olmanın bir öneme sahip olmayacağı açıktır. Örneğin, bir arabanın hızını düşünelim. Eğer yol üzerinde bir nokta alır ve yolu bu noktaya göre yönlendirirsek (yani noktanın sağ ve sol tarafından birinin pozitif, diğerinin de -kaçınılmaz olarak- negatif olduğu anlaşmasını yaparsak) arabanın hızının pozitif veya negatif olmasına göre, noktanın sağına veya soluna doğru ilerlediğini anlayabiliriz. Dolayısıyla bu durumda hızın negatif veya pozitif olmasının bir anlamı vardır. Fakat arabanın bir direğe çarptığında vereceği (veya alacağı) hasarı düşündüğümüzde hızın sadece değeri önemli olacaktır; pozitif veya negatif olmasının, yani direğin sağından veya solundan geldiğinin hiçbir önemi yoktur. Buna göre, bazı durumlarda sayıların salt değerleridir önemli olan. Bu değere, sayının mutlak değeri adı verilir ve mutlak değer fonksiyonu ile gösterilir: |x|.

Bir ifadenin mutlak değeri, yani pozitif değeri, sıfır veya sıfırdan büyük olacağına göre, eğer sayı zaten pozitif ise olduğu gibi kabul edilmeli; ancak negatif ise (pozitif yapmak için) (-1) ile çarpılmalıdır. Bu durum

|x|= x . . . . . x ≥ 0 (eğer x pozitif veya sıfır ise anlamına gelir)
|x|=-x . . . . . x < 0 (eğer x negatif ise anlamında)

şeklinde gösterilir. Örneğin |5|=5 olacaktır, çünkü 5 zaten pozitiftir. Fakat |-2|=-(-2)=2 olur, çünkü (-2) negatiftir. Şimdi soru, |x-4| için ne yapacağımız sorusudur. Bu ifade x'in alacağı değerlere göre negatif, sıfır ve pozitif olabilir. Bu nedenle, bu ifade iki farklı sayı aralığı için iki farklı şekilde açılacak, eş deyişle mutlak değer dışına çıkarılacaktır. x-4=0 ise x=4, şeklindeki denklem çözümünden rahatça görüldüğü üzere, (x-4) ifadesi x ≥ 4 için sıfır veya pozitif, x < 4 içinse negatif değerler almaktadır. Buna göre, x değerini (-∞,4) aralığından seçecek isek |x-4|=-(x-4)=4-x; [4,∞) aralığından seçecek isek |x-4|=x-4 yazarız.

Bir örnek olması amacıyla "|x+2|+|x+6| =9 denkleminin büyük kökü,küçük kökünden ne kadar büyüktür?" şeklindeki sorunuzu çözelim.

İşlem yapabilmemiz için önce mutlak değer fonksiyonlarından kurtulmamız gerekir. Bu kurtuluşun şekli ise x'e hangi aralıkta değerler vereceğimize bağlıdır. Önce |x+2| fonksiyonunu alalım. Bu ifadenin mutlak değer dışına çıkması, x=-2 değeri etrafında şekillenecektir. Yukarıda verdiğim örnekte olduğu gibi, x ≥ -2 için |x+2|=x+2; x < -2 için |x+2|=-(x+2)=-x-2 olacaktır. Benzer şekilde, x ≥ -6 için |x+6|=x+6; x < -6 için |x+6|=-(x+6)=-x-6 olur.

Burada dikkat etmemiz gereken nokta, |x+2|+|x+6| ifadesinin iki farklı değerde (-2 ve -6) şekil değiştirmesidir: x=-2 noktasında |x+2| fonksiyonu, x=-6 noktasında ise |x+6| fonksiyonu değişmektedir. Buna göre,

x < -6 ise |x+2|+|x+6|=(-x-2)+(-x-6)=-2x-8 olur (dikkat edin ki x < -6 olması, aynı zamanda x < -2 olması demektir).

x ≥ -6 ve x < -2 ise |x+2|+|x+6|=(-x-2)+(x+6)=4 olur (bu aralıkta denklemin çözümü yoktur).

x ≥ -2 ise |x+2|+|x+6|=(x+2)+(x+6)=2x+8 olur (dikkat edin ki x ≥ -2 olması, aynı zamanda x ≥ -6 olması demektir).

Dolayısıyla denklemin çözülebileceği iki durum vardır: x < -6 ve x ≥ -2. Buna göre:

x < -6 ise |x+2|+|x+6|=-2x-8=9 ise x=-17/2

x ≥ -2 ise |x+2|+|x+6|=2x+8=9 ise x=1/2

Görüldüğü gibi, büyük kök (1/2) küçük kökten (-17/2) 9 büyüktür.

Benzer yöntemlerle "|x+5|+|x-3| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?" sorusunu irdelersek, ifadenin (-∞,-5), [-5,3) ve [3,∞) aralıklarında incelenmesi gerektiğini görürüz:

x < -5 ise |x+5|+|x-3|=(-x-5)+(-x+3)=-2x-2 olur (dikkat edin ki x < -5 olması x < 3 de olması demektir).

x ≥ -5 ve x < 3 ise |x+5|+|x-3|=(x+5)+(-x+3)=8 olur.

x ≥ 3 ise |x+5|+|x-3|=(x+5)+(x-3)=2x+2 olur (dikkat edin ki x ≥ 3 olması x ≥ -5 de olması demektir).

x < -5 halinde elde edilen (-2x-2) ifadesinin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olabilmesi için x ≥ -1 olması gerekir. Fakat bu aralıkta x en fazla (-5)'e yaklaşabileceği için, x ≥ -1 olması mümkün değildir.

x ≥ -5 ve x < 3 halinde ifade 8'e eşit olup sıfırdan büyüktür.

x ≥ 3 halinde elde edilen 2x+2 ifadesinin negatif veya sıfır olabilmesi için x ≤ -1 olmalıdır ki bu değerlerin hiçbiri [3,∞) aralığında yer almaz.

Dolayısıyla eşitsizliğin çözümü yoktur. Ancak yanıtlarda böyle bir seçenek olmadığına göre ya şu anda göremediğim bir işlem hatası oldu ya da soruda bir hata var.

Bu soruya mantıksal bir yaklaşımda da bulunabiliriz. |x+5|+|x-3| ≤ 0 ifadesinde, eşitsizliğin sol tarafında yer alan iki terim de pozitif veya sıfır olabilecek terimlerdir ve bu türde iki terimin toplamının negatif olması mümkün değildir. Öyleyse mümkün olan tek çözüm |x+5|+|x-3| = 0 olmasıdır ki bu durumun gerçekleşemeyeceğinin yukarıda görmüştük.

Umarım yardımcı olmuştur.

Maşallah hocam :)

Elinize sağlık hocam.

Hocam,verdiğiniz bilgiler ve sorularının çözümü için çok teşekkür ederim.Konuyu sayenizde anladığım söylenebilir.