Saymanın Temel İlkesi ve Kombinasyon sorusu ( 2 tane)

Herkese selam.1 tane yapamdığım 1 tane yaptığım ama emin olmadığım 2 tane sorum var :) Şimdiden teşekkür ediyorum ^^

1.Soru:

8 Siyah,6 kırmızı ve 4 beyaz bilyeden farklı 2 renkte bilye kaç değişik şekilde seçilir?

Çözüm:

P(18,2)=153 daha sonra her birinin 2 li seçimi ;
P(8,2)=28 , P(6,2)=15 , P(4,2)=6
153-(28+15+6)=104 buldum.

Konuya çalıştım ama biraz karışık geldi (şimdilik),bu sebeple çözüm yolundan emin olamadım.

2.Soru:

Aralarında siyah,beyaz,kırmızı ve mavi boncuklarında bulunduğu 10 farklı renkte boncuk bir ipe,siyah,beyaz,kırmızı ve mavi boncuklar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir?

Zamanında çok kolay ve zevkli gelirdi bu sorular ama şimdi çözemiyorum(olasılıkta aynı şekilde:hatta sanırım 2009 daki sınavdı;1 mantık sorusu bu konuyla ilgiliydi ve birden fazla netime mâl oldu) :(

bencede 1.sorunun cevabı 104 bende aynı yoldan buldum tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarıyoruz
Ama 2. soruyu bende çözemedim şıkları versen belki çözüme daha kolay gidilebilr

safya47'den alıntı:

bencede 1.sorunun cevabı 104 bende aynı yoldan buldum tüm durumdan istenmeyen durumu çıkarıyoruz
Ama 2. soruyu bende çözemedim şıkları versen belki çözüme daha kolay gidilebilr

Şıkları verebilirim ama biliyosun ben cevaptan çok çözüm yolunu öğrenmek istiyorum :)
İşlem yapmayınca mantığını anlayamıyorum :)
Cevabı:10!-4!.7!

2. soru:
Ya benim anlama kabiliyetimde bir sıkıntı var, ya da soru tam açık değil.
Eğer cevap 10!-4!.7! ise, 4 boncuğun hepsinin birden yanyana gelmeme durumu soruluyor demektir. Yani 4 boncuktan herhangi 2 si, veya 3 ü yanyana olabilir ama 4 ü birlikte yanyana olamazlar.
Ben ise, hiçbir şekilde, herhangi 2 si , 3 ü, ya da 4 ü yanyana gelmez anladım. Soruyu buna göre çözüyordum. Cevabı sonradan gördüm.
4 ünü bir tutup 6+1=7 boncuk varmış gibi, Tüm durumlardan 4 ünün bir arada olması durumunu çıkararak bulmuş.
Yani 10!-4!.7! şeklinde.
Başlamışken o durumun çözümünü de yazayım.
-|-|-|-|-|-|-
Dik çizgiler, diğer 6 boncuğu göstersin. 4 boncuğun yerleştirilebileceği 7 aralık var. C(7,4).6! olur.

2. soruda bir açıklama getiilmeli bahsi geçen tüm boncuklar aynı anda mı yanyana olmayacak yoksa iki tanesi bile yanyana olmayacak mı?

neyse 2 soruyu da çözmeye çalışalım;
paket halde yanyana olmayacaklarsa tüm durumlardan yanyana oldukları durumlar çıkartırız.
yanyana oldukları durumları sayalım
bu 4 boncuğu tek bir X boncuğu olarak düşünürüz elimizde 7 boncuk vardır sıralamalarının sayısı 7! olur , şimdi her bir durum için X in içinde 4 boncuk olduğunda kendi aralarında 4! şekilde sıralanabilirler yani bu boncuklar yanyanayken 7!.4! şekilde sıralanabilir.
hiçbir kısıtlama yokkn de 10! şekilde sıralanabilir yani cevap 10!-7!.4! olur

eğer bu 4 boncuktan hiçbiri bir diğerinin yanında olamayacaksa, içerme dışarma ile soruyu çözmemiz gerekecek
tüm durumlar +10!
herhangi 2 tanesinin yanyana geldiğini çıkartırız -C(4,2).2!.9!=-12.9!
herhangi 3 tanesinin yanyana olduklarını toplarız +C(4,3).3!.8!=24.8!
4 tanesinin de yanyana geldiği durumları çıkartırız -C(4,4).4!.7!=-24.7!

sonuç olarak 7!(720-72.12+8.24-24)=4!.7! bulunur , garip bi sonuç çıktı hepsinin yan yana olması durumlarının sayısıyla herhangi 2 tanesinin yanyana olmaması durumlarının sayısı aynıymıymış :)

diyordum ki yukardai yorumu gördüm yani soru ilk çözdüğümüz şekilde sorulmuş, neyse bu çözüm de kalsın

MatematikciFM'den alıntı:

Başlamışken o durumun çözümünü de yazayım.
-|-|-|-|-|-|-
Dik çizgiler, diğer 6 boncuğu göstersin. 4 boncuğun yerleştirilebileceği 7 aralık var. C(7,4).6! olur.

hocam soru anladığımız şekilde sorulmuş olsaydı bence bu cevap doğru olmazdı. hatta o 4 bonucuğu boşluklara yerleştirirken permüte edip 4! ile çarpsaydınız da cevap doğru olmazdı diye düşünüyorum. boşlukları seçip oralara boncukları yerleştirdiğimizde bazı durumları fazladan sayıyoruz.

Çok teşekkür ederim.Ellerinize yüreğinize sağlık ^^

hocam sizden ve konuyu bugüne kadar okumuş olanlardan özür dileyerek geç kalmış bir düzeltme yapayım


yanlış çözüm:

gereksizyorumcu'den alıntı:

eğer bu 4 boncuktan hiçbiri bir diğerinin yanında olamayacaksa, içerme dışarma ile soruyu çözmemiz gerekecek
tüm durumlar +10!
herhangi 2 tanesinin yanyana geldiğini çıkartırız -C(4,2).2!.9!=-12.9!
herhangi 3 tanesinin yanyana olduklarını toplarız +C(4,3).3!.8!=24.8!
4 tanesinin de yanyana geldiği durumları çıkartırız -C(4,4).4!.7!=-24.7!

sonuç olarak 7!(720-72.12+8.24-24)=4!.7! bulunur , garip bi sonuç çıktı hepsinin yan yana olması durumlarının sayısıyla herhangi 2 tanesinin yanyana olmaması durumlarının sayısı aynıymıymış :)

diyordum ki yukardai yorumu gördüm yani soru ilk çözdüğümüz şekilde sorulmuş, neyse bu çözüm de kalsın

evet çözüm kalsın ama yanlışa örnek olarak kalsın :)



doğru çözüm:

MatematikciFM'den alıntı:

2. soru:
Ya benim anlama kabiliyetimde bir sıkıntı var, ya da soru tam açık değil.
Eğer cevap 10!-4!.7! ise, 4 boncuğun hepsinin birden yanyana gelmeme durumu soruluyor demektir. Yani 4 boncuktan herhangi 2 si, veya 3 ü yanyana olabilir ama 4 ü birlikte yanyana olamazlar.
Ben ise, hiçbir şekilde, herhangi 2 si , 3 ü, ya da 4 ü yanyana gelmez anladım. Soruyu buna göre çözüyordum. Cevabı sonradan gördüm.
4 ünü bir tutup 6+1=7 boncuk varmış gibi, Tüm durumlardan 4 ünün bir arada olması durumunu çıkararak bulmuş.
Yani 10!-4!.7! şeklinde.
Başlamışken o durumun çözümünü de yazayım.
-|-|-|-|-|-|-
Dik çizgiler, diğer 6 boncuğu göstersin. 4 boncuğun yerleştirilebileceği 7 aralık var. C(7,4).6! olur.

artık o sırada ne düşünüyorsam hem doğru yapılmış bi çözüme yanlış/fazla sayar vs demişim hem de üstüne upuzun bi yoldan yanlış bir çözüm yapmışım, kusura bakmayın.

ayrıca yanlış çözümdeki yanlış nerede bulabilen var mı? savaş özel mesajdan bu çözümü açıklamamı istediğinde yanlış olduğunu farkettim ama bulması biraz zor oldu, konuya bakanlar da düşünsünler bakalım hata nerde?

İçerme dışarma uygularsak , => 4!*7! kadar durum olur.Yalnız burda unuttuğumuz bi şey var.İpin iki ucuda birleşik , o halde baştan sondan simetrik oluyor bide 2ye bölmek gerekir 4!*7!/2 = 60 480
Fikri hocanın çözümü de bunun tam 10 katı oluyor. O da 10 fazladan saydığımız durumlar.