permütasyon ve kombinasyon soruları

cevaplarınız için çok teşekkür ederim.

1-) 'Kelebek' kelimesinin harfleri yer değiştirerek ve her K harfinden sonra E harfi gelecek biçimde kaç farklı kelime yazılabilir?( cevap: 60)

2-) 5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farlı şekilde yerleştirilebilir?
3-) 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
4-) Farklı özellikte 3 mendil 6 kişiye dağıtılacaktır. Her öğrenci en çok 1 mendil alacağına göre dağıtım kaç farlı şekilde olur? (cevap 120)
5-) Aynı özellikte 3 mendil 6 kişiye dağıtılacaktır. Herkes en çok 1 mendil alacağına göre dağıtım kaç farlı şekilde olur?(cevap:20)

Bu son iki sorudaki farkı da açıklayabilrseniz çok sevinirim.

C.1
KEyi bir harf kabul edelim.
KElebKE=>5 harfli
5!/2!=120/2=60
C.2
Öğrenciler ve sınıflar farklı olduğu için;
1. öğrenci C(8,1) şekilde (8tane sınıftan herhangi birine) yerleştirilebilir.
2. öğrenci C(8,1) şekilde (8tane sınıftan herhangi birine) yerleştirilebilir.
...
5. öğrenci C(8,1) şekilde (8tane sınıftan herhangi birine) yerleştirilebilir.
=
8⁵=2¹⁵(Bağımlı olay olduğundan çarpıyoruz.)
S-3 ile S-2 aynı tarzda çözüldüğünden bu soruyu çözmüyorum.
C.4
1. mendil:C(6,1)
2. mendil:C(5,1)
3. mendil:C(4,1)
6.5.4=120 (Bağımlı olay olduğundan çarpıyoruz.)
C.5
1. mendil:C(6,1)
2. mendil:C(5,1)
3. mendil:C(4,1)
6.5.4=120 (Bağımlı olay olduğundan çarpıyoruz.)
Özdeş olduğundan 3! ile bölmeliyiz. (3 özdeş mendil olduğundan)
120/3!=20

tekrar teşekkür ederim.
2. sorunun 4 üzeri 6 mı,yoksa 6 üzeri 4 mü olduğunu çözemedim. Farklı cevaplar var çünkü.

Aşağıdaki 2 sorumu da cevaplarsanız mutlu olurum.
1-)6 öğrenci 3'er kişilik 2 gruba kaç farklı şekilde ayrılabilir?(cevap:20)
2-)6 kişilik bir öğrenci grubundan her takımda 2 kişi olacak şekilde 3 takım oluşturulmak isteniyor. Bu takımlar kaç farklı şekilde oluşturulur?(cevap:15) Bu soruda 90'ın neden 6 ya bölündüğünü anlamdım. 1. soru ile aynı mantık değil mi?













9

Grub denilen şeylere aynı sayıda eleman gelidiğinde özdeş varlıklar-nesneler gibi davranırlar, yâni kaç tane aynı sayıda grup varsa onun faktöriyeline bölünür kombinasyon çarpımı. Çünkü aynı sayıda grupların yer değiştirmesi bir anlam ifâde etmez. Bu mânâda:

1.) C(6,3).C(3,3).1/2! = 10

2.) C(6,2).C(4,2).C(2,2).1/3! = 15.6/6 = 15

Yukarıdaki 4. soru için başka yol:
En fazla bir mendil dağıtılacağından per. gereği P(6,3)=6.5.4=120

Yukarıdaki 5. soru için başka yol:
111000 dağılımı sorulduğundan tekrarlı per. gereği 6!/3!.3!=20

3. sorumu cevaplayabilir misiniz?
Ayrıca aşağıdaki iki soruyu da cevaplarsanız sevinirimm.
1-) 1,1,1,0,0,2,2 rakamları kullanılarak, 3 ile başlayıp, 0 ile biten kaç farklı sayı yazılabilir.

2-) 'KELEBEK' kelimesinin harfleri kullanılarak, B'den sonra hemen E gelecek biçimde (BE) kaç kelime yazılabilir?
Teşekkür ederim.

2)
(BE) _ _ _ _ _ şeklinde 6!.2!/2!.2!=360 kelime yazılabilir.

Bence 3. soruyu çözersiniz. Çünkü tıpkısının aynısının sayıları değişik.
2-) 5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farlı şekilde yerleştirilebilir?
3-) 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
Aynı değil mi ?
1. kişi C(4,1)
2. kişi C(4,1)
.....
6. kişi C(4,1)
4.4.4.4.4.4=2¹²

1-)
3 ve 0 ı atalım.
Kalan 1,1,1,0,2,2
(6!/3!.2!)=60 şekilde sıralabilir.

Cevap için teşekkürler .
Soruyu yanlış yazmışım tekrarlıyorum.

1-) 4,4,0,3,0,3,3 rakamları kullanılarak 3 ile başlayıp, 0 ile biten kaç farklı sayı yazılabilir?
soruya tıpkısının aynısı diyeceksiniz;ama bu sorunun da iki cevabı var (24,30)

3 ile başlayacaksa 3ün 1ini atalım. 0 ile bitecekse 0ın birini atalım.
Kalan 4,4,3,3,0
5!/2!.2!=30
Nasıl 2 şıkkı var tek soruda nasıl 2 şık olabilir.:)
Evet bu da tıpkısının aynısı. Demek ki benim çözümüm size HİÇBİR ŞEY kazandırmamış. Bu da benim açımdan üzücü. Sonuç itibariyle sorular karşı tarafa birşeyler katsın diye çözülüyor.

Öncelikle neden önyargılı yaklaştığınızı anlayamadım.
Sorunun iki cevabı var -burada uzun uzadıya anlatmamak için yazmadım- iki öğretmenime de ayrı ayrı sorduğumda biri 24, biri 30 cevabını verdi. Biri soruda ikinci sıfırı da çıkararak işlemi sonuçlandırdı. Ve ben de tekrar çözmeyi denerken, kafam karıştı. Ve soruda 0'lar fazla olduğu ve ayrıca ilk ve son basamağı sınırlandığı için bir fark olabilir diye, tekrar sizlere de sormak istedim. Ayrıca dikkat ederseniz, ilk sorumda verilenler arasında 3 rakamı yok ve siz varmış gibi 3 de atalım, diye yazmışsınız. Soruyu yanlış yazdığım ve siz de farketmediniz diye kontrol edip tekrar yazdım, bu kadar yermenize gerek yoktu. Ben de bir eğitmenim ;ama doğru düzgün soru soranlara karşı yaklaşımım böyle olmuyor. Neyse sorularımla daha fazla zaman kaybetmenize gerek yok. Yine de sağolun.

Frk
Teşekkür ederim;ama sorunun cevabını kitabımdam şimdi buldum 360 değil, 180 yazıyor.

''6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? ''' sorunun cevabı da 360 olacakmış. Sanırım bu soru '''5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?''' sorusundan farklı şekilde çöüzlüyor. Bu soruların cevabına ulaşırken, neden farklı yöntem kullanılması gerektiğini açıklayan olursa çok sevnirim.Şimdiden emeğinize teşekkür ederim.

dilaramutlu'den alıntı:

Öncelikle neden önyargılı yaklaştığınızı anlayamadım.
Sorunun iki cevabı var -burada uzun uzadıya anlatmamak için yazmadım- iki öğretmenime de ayrı ayrı sorduğumda biri 24, biri 30 cevabını verdi. Biri soruda ikinci sıfırı da çıkararak işlemi sonuçlandırdı. Ve ben de tekrar çözmeyi denerken, kafam karıştı. Ve soruda 0'lar fazla olduğu ve ayrıca ilk ve son basamağı sınırlandığı için bir fark olabilir diye, tekrar sizlere de sormak istedim. Ayrıca dikkat ederseniz, ilk sorumda verilenler arasında 3 rakamı yok ve siz varmış gibi 3 de atalım, diye yazmışsınız. Soruyu yanlış yazdığım ve siz de farketmediniz diye kontrol edip tekrar yazdım, bu kadar yermenize gerek yoktu. Ben de bir eğitmenim ;ama doğru düzgün soru soranlara karşı yaklaşımım böyle olmuyor. Neyse sorularımla daha fazla zaman kaybetmenize gerek yok. Yine de sağolun.

Önyargılı falan yaklaştığım yok. Ama görüyorum ki çözdüklerim size birşey kazandırmıyor. Bence benzer soruların mantığını öğrendiğinizde diğerini de çözebilmeniz gerekli. Bunu sizin için söylüyorum. Yoksa siz çözün veya çözmeyin bana ne kazandırır ki ? veya ne kaybettirir ?
İlk sorduğunuz sorunuz da sonuna 3 eklemeyi unutmuşsunuz diye düşünerek yazdım çözümü.
Son yazdığınız soruya gelince
başta 3 olması istendiğinden iki 0ı da atmanıza gerek yok.
Misal 3______0 olması istenmiş.
Ve biz iki 0ıda atarsak 0ın birini işleme dahil etmemiş olacağız bu da bizi yanlış sonuca ulaştıracak.
Her sorunun da şıklarda sadece 1 doğru şıkkı olacağını düşünürsek bu sorunun da tek bir doğru şıkkı var. Ama 30 doğrudur ama 24 ama benim cevabım 30.

KELEBEK Sorusu:

2-) 'KELEBEK' kelimesinin harfleri kullanılarak, B'den sonra hemen E gelecek biçimde (BE) kaç kelime yazılabilir?
Teşekkür ederim.
BE bitişik olacak. BEyi bir harf kabul edersek;
(BE),K,K,E,E,L=>6 harf
Özdeş harfler olduğundan tekrarlı permütasyon yapmalıyız.
6!/2!.2!=720/4=180


Koltuk sorusunda mantık hatası yapmışım. Olmayan koltuklara da kişileri oturtmuşum.
Soruyu düzeltecek olursak;
3-) 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
6 kişiden 4 kişi seçelim.
C(6,4)
Bunlar koltuklara
C(4,1).C(3,1).C(2,1).C(1,1) Yani 4! şekilde sıralanır.
C(6,4).4!=15.24=360

2-) 5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farlı şekilde yerleştirilebilir?
3-) 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
İki soru arasındaki fark;
2. soruda bütün öğrenciler sınıflara yerleştirilecek. Ve çözümü yukarıdaki mesajlar da yaptığımız gibi olacak.
3. soruda ise bütün kişiler koltuklara oturtturulmayacak. Koltuk sayısı kişi sayısından az olduğu için koltuk sayısı kadar kişi seçilip, bu kişiler kendi aralarında sıralanmalı. Onun çözümü de yukarıda yaptığımız gibi.

dilaramutlu'den alıntı:

Frk
Teşekkür ederim;ama sorunun cevabını kitabımdam şimdi buldum 360 değil, 180 yazıyor.

''6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? ''' sorunun cevabı da 360 olacakmış. Sanırım bu soru '''5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?''' sorusundan farklı şekilde çöüzlüyor. Bu soruların cevabına ulaşırken, neden farklı yöntem kullanılması gerektiğini açıklayan olursa çok sevnirim.Şimdiden emeğinize teşekkür ederim.

Fazladan 2 ile çarpmışım kusura bakmayın B ve E'nin kendi arasında yer değiştirdiğini düşünmüşüm fakat soruda BE sırasıyla demiş zaten.

Sanırım, benzer gözüken;ama benzer olmayan sorunun gerçek yanıtını aramak için çabalamak işe yarıyor. Yapılan hatalar düzeltmiş oluyor böylece.
Matematiğim çok iyi olsa zaten burada işim olmaz. Bu konuya da hayatımda ilk defa bakmış biri olarak, benzer sorularda hemen çıkarım yapabilmek için biraz daha soru çözmem gerekiyor doğal olarak.Siteye girebilmek için böyle bir şart varsa o ayrı bir konu...Siz benim anlama kapasitem için yorum yapamazsınız. Ayrıca hala neden sorularıma cevaplamaya çalışyorsunuz anlamadım.Bırakın yanlış kalsaydı ,elbet biri yanıtlardı ,içiniz rahat olsaydı!!!

Melek12'den alıntı:

2-) 5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farlı şekilde yerleştirilebilir?
3-) 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?
İki soru arasındaki fark;
2. soruda bütün öğrenciler sınıflara yerleştirilecek. Ve çözümü yukarıdaki mesajlar da yaptığımız gibi olacak.Sınıf sayısı>Öğrenci sayısı
3. soruda ise bütün kişiler koltuklara oturtturulmayacak. Koltuk sayısı kişi sayısından az olduğu için koltuk sayısı kadar kişi seçilip, bu kişiler kendi aralarında sıralanmalı. Onun çözümü de yukarıda yaptığımız gibi.(koltuk sayısı<öğrenci sayısı)

dilaramutlu'den alıntı:

Frk,
Teşekkür ederim.Bu sorunun cevabını kitabımda şimdi buldum 360 değil, 180 yazıyor.

'' 6 kişi, 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir?'' sorusunun cevabı 360 yazıyor.Bu sorunun çözümü sanırım, ''5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?'' sorusundan farklı şekilde çözülüyor. Bu her iki sorunun çözümünde, neden farklı yöntem uygulanıyor. Açıklayan olursa çok sevinirim. Şimdiden emeğinize teşekkür ederim.

Dilara orada fazladan 2 ile çarpmışım. 360/2= 180.
Yani kısaca açıklamak gerekirse;
(BE) ikilisini bir harf gibi düşünelim. Geriye K,K,L,E,E harfleri kaldı.
_ _ _ _ _ _ (6 harfli kelime yazıyor gibi düşüneceğiz çünkü (BE) ikilisini bir harf gibi aldık)
6.5.4.3.2.1=720
Tekrarlı permütasyondan dolayı tekrar eden harflere bakalım;
K,K ve B,B ise; 2!.2! 'e bölmeliyiz. (Burada (BE) ikilisini farklı bir harf olarak düşünüyoruz. İçinceki B'yi sadece B harfi olarak düşünmüyoruz.)
720/2!.2!=180

6 kişi 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir sorusuna gelince;
_ _ _ _ Şeklinde 4 koltuk düşünelim.
6.5.4.3=360 farklı şekilde oturabilir.
(1. koltuğa 6 kişiden herhangi biri oturabilir yani 6 farklı durum.
2. koltuğa kalan 5 kişiden herhangi biri oturabilir(1 kişi 1. koltuğa oturdu.) yani 5 farklı durum.
3. koltuğa kalan 4 kişiden herhangi biri oturabilir(1 kişi 1. koltuğa, 1 kişi de 2. koltuğa oturdu.) yani farklı 4 durum.
4. koltuğa kalan 3 kişiden herhangi biri oturabilir(1 kişi 1. koltuğa, 1 kişi 2. koltuğa, 1 kişi de 3. koltuğa oturdu.) yani 3 farklı durum.
Toplam durum bu 3 durumun çarpımı olacağı için;
6.5.4.3=360)

5 öğrenci, 8 sınıfa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir sorusunda ise;
Her öğrencinin 8 seçeneği var önünde.
_ _ _ _ _ şeklinde 5 öğrenci olsun;
8.8.8.8.8=8⁵ olur.

Aradaki farkı anlamışsındır sanırım. Koltuk sorusunda sırayla oturtuyoruz ve kişi sayısı azalıyor. Sınıf sorusunda ise seçenek olarak düşünüyoruz. Soruda şart verilmediği için direk bu şekilde yazıyoruz.

Çok sağol frk
Gerçekten çok güzel açıklamışsın.

dilaramutlu'den alıntı:

Sanırım, benzer gözüken;ama benzer olmayan sorunun gerçek yanıtını aramak için çabalamak işe yarıyor. Yapılan hatalar düzeltmiş oluyor böylece.
Matematiğim çok iyi olsa zaten burada işim olmaz. Bu konuya da hayatımda ilk defa bakmış biri olarak, benzer sorularda hemen çıkarım yapabilmek için biraz daha soru çözmem gerekiyor doğal olarak.Siteye girebilmek için böyle bir şart varsa o ayrı bir konu...Siz benim anlama kapasitem için yorum yapamazsınız. Ayrıca hala neden sorularıma cevaplamaya çalışyorsunuz anlamadım.Bırakın yanlış kalsaydı ,elbet biri yanıtlardı ,içiniz rahat olsaydı!!!

Bismillah.
Her insan hata yapabilir ve sorudaki yaptığım hatayı ifade ettim. Ama siz kan davasına çevirdiniz olayı. Anlama kapasitenize ne yorumu yapmışım ben ? Ben size kin gütmüyorum ki neden cevaplamayayım sorularınızı. Eğitimci olduğunuzu söylüyorsunuz ama resmen kin kusuyorsunuz. Neyse bir daha cevaplamam sorularınızı. İyi günler.

melek12

siz de güzel açıklamışsınız, bu bir laf atma değil.

Bu sizin yazınız
'''Ama görüyorum ki çözdüklerim size birşey [I]kazandırmıyor] Bence benzer soruların mantığını öğrendiğinizde diğerini de çözebilmeniz gerekli'''' Bu cümlelerinizden yola çıkmıştım;ama neyse uzatmaya gerek yok. Yine tekrar sağolun

Estağfirullah. Dilara hanım insanlara karşı yıkıcı değil de yapılı davranmalıyız. Burada kimse kimsenin kötülüğünü istemiyor. Burada elbet insan her türlü soruyu sorabilir. Bazıları tavsiyede bulunabilir fakat bulundukları tavsiyeler yazıda biraz farklı algılanabilir. Bu durumda sakinlikle yaklaşmalısınız olaya. 3 günlük dünyada incir kabuğunu doldurmayan sebeplerle tartışmaya hiç gerek yok. Yanlış anlaşılmalar tartışmaların asıl kaynağıdır. Melek hanım size tavsiyede bulunmuş fakat iki sorunun da aynı yöntemle çözüldüğünü düşünmüş o an. Herkes yanılabilir zaman zaman. Onun ayıbını yüzüne vurmak değil örtmek düşer bize.

dilaramutlu'den alıntı:

melek12

siz de güzel açıklamışsınız, bu bir laf atma değil.

Bu sizin yazınız
'''Ama görüyorum ki çözdüklerim size birşey [I]kazandırmıyor] Bence benzer soruların mantığını öğrendiğinizde diğerini de çözebilmeniz gerekli'''' Bu cümlelerinizden yola çıkmıştım;ama neyse uzatmaya gerek yok. Yine tekrar sağolun

Muhtemelen KPPSye giriceksiniz ve belki de bu tür sorular çıkacak. Çözdüğünüz soruları özümsemezseniz bana göre boşuna zaman kaybetmiş olursunuz. Dediğim gibi soruyu YANLIŞ okumuşum + yanlış çözmüşüm. Ancak hatamı fark ettim mi ? Cevabımı düzelttim mi ?
Evet. Mühim olanda sizin bu tarz soruları anlayıp sınavda karşınıza çıkacak bu tür soruları çözebilmeniz değil mi ? İşte bu yüzden çözdüğünüz soruları özümsemeniz gerektiğini söyledim.

Başarılar...

incir kabuğu değil çekirdeği olacak

nasıl konu değiştiriyorum ama

gereksizyorumcu'den alıntı:

incir kabuğu değil çekirdeği olacak

nasıl konu değiştiriyorum ama

" :o "

gereksizyorumcu'den alıntı:

incir kabuğu değil çekirdeği olacak

nasıl konu değiştiriyorum ama

Hocam çok fena hata ayıklıyorsunuz :) Haklısınız :)

frk'den alıntı:

Hocam çok fena hata ayıklıyorsunuz :) Haklısınız :)

biri uzun kollu diğeri kısacık kollu (kısa dediysek bileğe kadar) cüppe giyen iki şeyhin hikayesini hatırladım.
uzun kolluya sormuşlar neden diye, kolumuzu şöyle yaptık mı insanlarda gördüğümüz tüm hataları örteriz demiş. diğerine sormuşlar sen niye uzun giyip
hataları örtmüyosun diye, o da biz örtecek hata görmüyoruz demiş ya o hesap. siz benim hatalarımı aramayın da büyüklük sizde kalsın :)

bu arada konu yeterince değişti di mi?

Estağfirullah hocam. Güzel hikayeymiş :)