Özel Tanımlı Fonksiyon Soruları Çözümleri-1
Bu bölümde fonksiyonun en geniş tanım aralığı ve tek-çift fonksiyon konuları yer almaktadır.
En Geniş Tanım Aralığı
f:A→B olmak üzere,
1)Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda tanımlıdır.
2) Rasyonel fonksiyonlar paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılarda tanımlıdır.
3) 2n√f(x) fonksiyonu f(x)≥0 için tanımlıdır.
4) 2n+1√f(x) fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlıdır.
5) logab fonksiyonu a>0 ve b>0 a≠1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde tanımlıdır.
6) arcsinf(x) ve arccos(f(x) fonksiyonları -1≤f(x)≤1 için tanımlıdır.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
SORU 1:
en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 1:
Paydayı sıfır yapan değerleri bulup tüm reel sayılardan çıkarmalıyız.
x²-x-20=(x-5).(x+4)=0 ise x=5 ve x=-4 için tanımsızdır.
O halde tanım aralığı : R-{-4,5} bulunur.
--------------------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f:R-{a}→R-{b}
ise a+b=?
ÇÖZÜM 2:
Paydayı sıfır yapan değerler tanım kümesinden çıkarılmıştır.
a ifadesi f(x) fonksiyonunu tanımsız yaparken, b ifadesi f⁻¹ fonksiyonunu tanımsız yapmaktadır.
f ifadesinin tanımsız olması için x=7 olmalı dolayısı ile a=7 olur.
f⁻¹ ifadesini tanımsız yapan değerler için fonksiyonun tersini almamıza gerek yok (uzatmayalım) x'li ifadelerin oranı b'yi verecektir bize.
a+b=7+2=9 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=√x²+3x+4a+1 fonksiyonu tüm reel sayılar için tanımlı ise a nedir ?
ÇÖZÜM 3:
x²+3x+4a+1≥0 olmalı burada ifadenin tüm reel sayılar için tanımlı olması için,
D≤0 olmalıdır. Çünkü D<0 ve eşitlik durumunda tabloda işaret değişmez. Tüm reel sayılarda tanımlı olur.
9-4.(4a+1)≤0 ise
a≥5/16 ise a nın değer aralığı [5/16,&) bulunur.
----------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x)=√log₂(x-4)-5
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 4:
log₂(x-4)-5≥0 aynı zamanda x-4>0 , x>4 olmalı.
(x-4)≥32
x≥36 olur o halde tanım aralığı [36,&) olur.
--------------------------------------------------------------------------------
SORU 5:
f(x)=2arcsin((3x-1)/5)+3
fonksiyonun en geniş tanım aralığı nedir ?
ÇÖZÜM 5:
-5≤3x-1≤5
-4≤3x≤6
-4/3≤x≤2 olur.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Tek ve Çift Fonksiyon Soruları ve Çözümleri
f(-x)=f(x) oluyorsa f(x) çift fonksiyondur.
f(-x)=-f(x) oluyorsa f(x) tek fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetrik ise çift fonksiyondur.
*f(x) fonksiyonunun grafiği orjine göre simetrik ise tek fonksiyondur.
Örnekler:
Aşağıdakilerin tek ve çift fonksiyon olma durumlarını inceleyelim.
f(x)=x⁴+5x²-7 fonksiyonunda çift kuvvetli bilinmeyenler olduğundan çift fonksiyondur.
f(x)=x⁵+x³ fonksiyonu tek kuvvetli bilinmeyenlerden oluştuğu için tek fonksiyondur
f(x)=x²-x fonksiyon ne tektir ne de çifttir.
f(x)=x.|x| fonksiyonunun tek mi çift mi olduğunu anlamak için f(-x) durumunu inceleyelim. f(-x)=-x.|-x|=-f(x) olduğundan tek fonksiyondur.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
SORU 1:
f(x) fonksiyonun grafiği orjine göre simetriktir.
f(x)+3f(-x)=x³+x
ise f(2)=?
ÇÖZÜM 1:
Grafiğin orjine göre simetrik olmasından fonksiyonun tek fonksiyon olduğunu anlarız.
f(-x)=-f(x) yazabliriz.
f(x)-3f(x)=x³+x
-2f(x)=x³+x
x=2 için f(2) fonksiyonunu bulalım.
-2f(2)=10 ise f(2)=-5 bulunur.
-----------------------------------------------------------------------------
SORU 2:
f(x) fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir.
f(x)-x².f(-x)=5x
ise f(4)=?
ÇÖZÜM 2:
Fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetrik ise fonksiyon çift fonksiyondur.
f(-x)=f(x) yazalım.
f(x)-x².f(x)=5x ise f(x)[1-x²]=5x olduğuna göre x=4 yazarsak,
f(4)=20/-15=-4/3 bulunur.
-------------------------------------------------------------------------------
SORU 3:
f(x)=(a-2)x³+x²+(4-b)x+3 fonksiyonu çift fonksiyon ise a.b=?
ÇÖZÜM 3:
Fonksiyon çift fonksiyon olduğuna göre, derecesi tek olan ifadelerin katsayılarını 0 yapmalıyız.
O halde a=2 ve b=4 olur. a.b=8 bulunur.
--------------------------------------------------------------------------
SORU 4:
f(x) tek fonksiyon g(x) çift fonksiyon olmak üzere,
f(-5)=3, g(3)=7 ise g(f(5))+g(-3) ifadesinin eşiti nedir ?
ÇÖZÜM 4:
f(-x)=-f(x)
g(-x)=g(x) şeklindedir.
f(-5)=-f(5) =>f(5)=-3 olur.
g(-3)+g(-3)=2g(-3)=2.7=14 bulunur.
