Basit Eşitsizlikler Soruları Çözümleri
Soru 1
2<x<5
3<y<6
olduğuna görfe, x+y değerleri hangi aralıktadır?
Çözüm 1
Bizden istenen aralığı bulmak için verilen iki eşitsizliği taraf tarafa toplamalıyız.
2<x<5
3<y<6
+_____
2+3<x+y<5+6
5<x+y<11 şeklinde bir aralık bulduk.
x+y=(5,11) şeklinde ifade edebiliriz.
___________________________________
Soru 2
x ve y tam sayıları için,
2<x<6
5<y<8 eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre 5-2y farkının alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm 2
Bize verilen eşitsizliklerden y içereni -2 ile genişletelim, - ile çarptığımız için eşitsizlik yön değiştirir.
-2.8<-2y<-2.5
-16<-2y<-10
Şimdi elimizdeki iki eşitsizliği toplayalım..
2<x<6
-16<-2y<-10
+_______
-14<x-2y<-4
x-2y ifadesinin en küçük değeri -13, en büyük değeri -5 tir. Toplamları -13-5=-18 olacaktır.
_____________________________________
Soru 3
x ve y birer tam sayı olmak üzere
-3≤x<5
-1<y≤4
olduğuna göre 2y-3x ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm 3
NOT: ≤ ile ≤ toplandığında-çıkarıldığında sonuç ≤, ≥ ile ≥ toplandığında sonuç ≥ olacaktır.
Bize verilen ifadelerde, y içereni 2 ile, x içereni -3 ile (eşitsizlik yön değiştirecek) çarpalım. Sonra toplayalım
-2<2y≤8
-15<-3x≤9
-________
-17<2y-3x≤17
2y-3x ifadesinin en büyük değeri 17 olacaktır.
_______________________________________
Soru 4
-5<a<4
-3<b<5 olduğunda göre,
(a-b).(a+b) çarpımının en büyük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm 4
(a-b).(a+b) ifadesini, a²-b² olarak yazalım.
Verilen eşitsizliklerin karesini alalım,
NOT: Verilen eşitsizliklerde alt sınır negatif ise, kare alındıktan sonra alt sınır 0 olur.
NOT: Kare alma işlemi yapılırken en büyük değer için, negatif sayıların da mutlak değerine bakılır.
-5<a<4 ifadesinin karesi alınırken, alt sınır 0 olmalıdır. Üst sınır ise |-5|>|4| olduğundan, 5²=25 olmalıdır. Ancak a ve b tam sayı olduğundan, ve a>-5 olduğundan, a'nın en küçük tam sayı değeri -4 tür. Bu durumda üst sınır için |4|²=16 alınmalıdır.
0≤a²≤16
-3<b<5 ifadesinin karesi alınırken, alt sınır 0 olmalıdır. b'nin en büyük mutlak değeri 4 olduğundan, üst sınır 16 olmalıdır.
0≤b²≤16
Bu eşitsizlikten yola çıkarak -16≤-b²≤0 olduğunu söyleyebiliriz.
İki eşitsizlik toplandığında,
0≤a²≤16
-16≤-b²≤0
+_______
-16≤a²-b²≤16
-16≤(a-b).(a+b)≤16 en büyük değeri 16 olmalıdır.
____________________________________
Soru 5
a, b, c birer reel sayı olmak üzere,
a+b>8
b+c<-2
a+c>6
olduğuna göre a'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır.
Çözüm 5
Verilen ikinci eşitsizliği - ile çarpalım, -b-c>2 olacaktır.
Şimdi üç eşitsizliği toplayalım,
a+b>8
-b-c>2
a+c>6
2a>16
a>8 olacaktır.
a'nın en küçük değeri 9'dur.
