tamsayılardan sorular

1)4.7+6.9+8.11+10.13+.......+20.23 ifadesinde her terimin ikinci çarpanı 1 artırılırsa toplam ne kadar artar? (cvp:108)

2)240 ı tam bölen tam sayılardan kaç tanesi tektir?(cvp 8)

3) 10.8¹⁰ sayısı 4 tabanında yazılırsa kaç basamaklı bir sayı olur? (cvp 17 )

4) 15.9¹⁰+ 12.27⁵ sayısı 3 tabanında yazılırsa kaç basamagı sıfır olur? (cvp 19)

5) a ve b pozitif tamsayılardır.
45!=a.45^b olduğuna göre , b en çok kaç olabilir? (cvp 10)

6) a ve b pozitif tamsayılardır.
38!+39!=a.4^b olduğuna göre b nin alabileceği kaç farklı değer vardır? (cvp:19)

yardımcı olurmusunuz lütfen

1) her terimin 2. çarpanın artmış hali;
4.8+6.10+8.12+.......+20.24 olur.
4.7+ 6.9 +8.11+ +20.23 taraf tarafa çıkarırsak artış miktarını buluruz.
4+6+8+10+........+20 olur. ( artış miktarıdır.)

normalde ilk terimi 2 olsaydı.
2+4+6+8+.......+2.2n=n.(n+1) olacaktı.
buna göre;
4+6+8+10+........+20=-2+2+4+6+8+10+........+2.10=10.11-2=110-2=108 olur

2) 240=24.10=3.8.2.5=3.5.2⁴ ise;

tam bölenlerinin sayısı=2.(1+1).(1+1).(1+1).(4+1)=2.2.2.2.5=80 olur. bu tüm çarpanlarının sayısıdır. (bunlar sorulmamış)

tek çarpanlarının sayısını bulmak için; çift sayı olan 2 ve kuvvetlerini yok sayacağız.

tüm çarpanlar 240=3.5.2⁴
2 ve kuvetlerini silersek geriye 3.5 kalır. bu ifadenin tam bölenlerini bulalım;
2.(1+1).(1+1)=2.2.2=8 olur. ( 8 tam bölennin hepsi tek sayıdır. çünkü hiç çift sayı kullanılmadı)

3) 10.8¹⁰=5.2.(2³)¹⁰=5.2³¹=5.2²⁸2³=5.2³.(2²)¹⁴=5.2³.4¹⁴
kat sayılar 4 ten küçük olacak şekilde ayarlayalım;
=40.4¹⁴=[4².2+4¹.2].4¹⁴=2.4¹⁶+2.¹⁵ olur.

burda her bir kuvvet bir basamağa denk gelir. (sadece 15. ve 16. kuvvet görünüyor. demek ki diğer kuvvetlerin katsayı yada basamak değeri 0 dır ondan yoklar.)
4 ün kuvvetlerinin en büyüğü 16 olduğu olduğuna, ve birde 0. kuvveti içinde fazladan bir basamak geleceği için sayımız 4 tabanında 17 basamaklı olur

6. 38!(40)=a.2^b den 38 i 2 böleriz çıkan sonucu da ikiye böleriz oçıkan sonuç ikiye bölünemeyinceye kadar bölme işlemine devam ederiz böylece 38! içindeki 2 çarpanını bulmuş oluruz tabi bu arada bölümleri toplarız sonuç 35 çıkar 40 ın içindede 3 tane iki çarpanı olduğundan 35+3 38 tane iki çarpanı vardır o halde b sayısı en küçük 1 en büyük 19 olmak üzere 19 farklı tam sayı değeri alabilir

4) 3.5.(3²)¹⁰+4.3.(3³)⁵=5.3²¹+4.3¹⁶
=(2+3).3²¹+(3+1).3¹⁶=2.3²¹+3.3²¹+1.3¹⁶+3.3¹⁶

=2.3²¹+1.3²²+1.3¹⁶+1.3¹⁷ olur.
bu sayı 3 tabanına göre 22+1=23 basamaklıdır.

bu basamaklardan;
3²² basamağı 1
3²¹ basamağı 2
3¹⁷ basamağı 1
3¹⁶ basamağı 1 dir. diğer tüm basamaklar 0 dır.

23 basamaktan 4 basamak çıkarsak 19 basamak kalır.


5) 45 e 3 için zincir bölme ugularsak;
15+5+1= 21 olur. (41! in içinde 21 tane 3 çarpanı var)
şimdide 45 e 5 için zinzir bölme uygularsak;
9+1=10 olur.

burda 5 sayısı sınırlı olduğu için kaç tane 5 varsa o kadar 45 oluşturabiliriz.
10 tane 5 için 10 tane 45 uluşturabiliriz. ( çünkü 10 tane 5 için 20 tane 3 yeterlidir.)

yani 10 tane 45 çarpanı olduğundan b=10 olur.


6) 38!+39!=38!(1+39)=38!.40=a.4^b

40=8.5=2.2.2.5 burdan 3 tane 2 çarpanı geliyor.
38 e 2 için zincir bölme kuralını uygularsak;
19+9+4+2+1=35 tane 2 çarpanı gelir.
bu ifade toplamda 35+3=38 tane 2 çarpanı vardır. 2.2=4 olduğundan 19 tane 4 oluşturabiliriz. yani bu ifadenin içinde 19 tane 4 çarpanı vardır. b=19 olur.

5. 45! in içindeki 3 çarpanlarının sayısı 21 5 çarpanlarının sayısı 10 dur o halde ifadeyi 3^2b.5^b şeklinde yazarsak b nin alabileceği en büyük değerin 10 olduğu görülür

6. 38!(40)=a.2^b den 38 i 2 böleriz çıkan sonucu da ikiye böleriz oçıkan sonuç ikiye bölünemeyinceye kadar bölme işlemine devam ederiz böylece 38! içindeki 2 çarpanını bulmuş oluruz tabi bu arada bölümleri toplarız sonuç 35 çıkar 40 ın içindede 3 tane iki çarpanı olduğundan 35+3 38 tane iki çarpanı vardır o halde b sayısı en küçük 1 en büyük 19 olmak üzere 19 farklı tam sayı değeri alabilir