Diziler-seriler

1) 2+(2+4)+(2+4+6)+(2+4+6+8).......(2+4+...20) toplamı?

a)400 b) 410 c)420 d)430 e)440

https://img62.imageshack.us/img62/75/mat14052012.png
https://img14.imageshack.us/img14/75/mat14052012.png
4) Nüfusu 10 milyon olan bir ülkenin nüfusu her yıl bir önceki yılın %10 u kadar artmaktadır. 5 yıl sonra bu ülkenin nüfusu kaç olur?

a)16105100 b)15405100 c)15 400 100 d)14840200 e)14400200

https://img717.imageshack.us/img717/75/mat14052012.png

Özellikle ilk soruyu çok merak ettim sevgili arkadaşlar ve kıymetli hocalarım yardımlarınızı bekliyorum.
Teşekkürler... :)

Madem, ilk soruyu merak etttin, anlatıyım.
Orada 10 tane grup var. Nasıl bulduk nersen, sayabiliriz ya da terim sayısı formülünden; (20-2)/2+1=10 olur.
O halde;
10 tane 2 var. 10x2=20
9 tane 4 var. 9x4=36
8 tane 6 var. 8x6=48
7 tane 8 var. 7x8=56
6 tane 10 var. 6x10=60
5 tane 12 var. 5x12=60
4 tane 14 var. 4x14=56
3 tane 16 var. ....
2 tane 18 var. .....
1 tane 20 var. .....
Dikkat ederseniz; üstteki kalın gözüken sayılar altta tekrar etmiş. O halde sayıların toplamı;
2x(20+36+48+56+60)=440 olur.
Peki, sayıların tekrar etmesinin nedeni neydi?
Dikkat ederseniz, çarptığımız sayılardan biri hep 1 arttı; biri de 1 azaldı. Bu yüzden belli bir yere kadar sonuçlar arttı; ancak sonra 10*6=60 ve 12*5=60 oldu ve sonuç değişmedi. Bundan sonra da sonuç sürekli azaldı.
2. durum; acaba sayılar küçük verilmeseydi, ne yapacaktık? O zaman 11. sınıfta verilen o toplam sembolü formüllerini kullanırdık. Ben burada, formül kullanmayım diye böyle çözdüm.

1.
farklı yollardan da yapılabilir ama biz 2 leri , 4 leri falan sayalım
10 tane 2 , 9 tane 4 , ... , 1 tane 20 var
toplam (11-k).(2k) , k=1 den 10 a
22k-2k² ye bakarsak 1 den 10 a toplamları 22.10.11/2-(2.10.11.21/6)=1210-770=440 olur

6.
ortak çarpan tamsayı ise önceki terim sonraki terimi bölecektir yani obeb 81 ise aslında 4. terim 81 dir.
buradan ortak çarpan 3 bulunur.
ilk 5 terim toplamı da (3^6-3)/2=363 olur

14.
ikinci toplamın ilk toplama oranı ortak çarpanı verecektir , 1/2

4.
5 kere %10 artış olacaktır. seçeneklerden gidelim, ilk 4 yılda %40 dan fazla artacağı kesindir, son yıl da en az 14 puan artmış olur sadece a seçeneği asla yatkın duruyor.

not: limit öğrendiniz sanırım, x sonsuza giderken (1+1/x)^x in e olmasından faydalanarak benzeri soruları çözebilirsiniz, mesela burada son değer e^(1/2) ye oldukça yakın olmalı

2.
seçeneklere bakarsak terimlerin 1 den büyük olduğundan hareketle bunu sağlayan sadece b ve c olduğunu görüyoruz. c olmadığını da en basitinden sayı vererek bile anlayabiliriz.

Çok teşekkür ederim sayın yorumcu ve mat arkadaşım. yanlız 4. soruyu biraz daha açıklayabilir misiniz acaba?İlk 4 yılda %40 dan fazla artacak burdan 10 un yüzde 40 ından 4 puan gelir en az yani sayı kesinlikle 14milyondan büyük olacak.Aslında ilk 5 yıl %50 den fazla artacak dersek sayı 15milyondan büyük olacak bu durumda a,b ve c şıkları kalıyor ama en son yıl nasıl 14 puan arttı ve a seçeneği nasıl oldu? b ve c yi nasıl eledik pek anlayamadım?

sadece son iki yıl için detaya inmek seçeneklere göre cevabı bulabildiği için öyle yapmıştım

mesela son üç yıl için incelersek
3. yıl 13 milyondan çok olacağından 5 yılın sonunda
13+1.3+1.43=15.73 ten çok olacağını da söyleyebiliriz.

sadece 5. kuvvetin alınması gerektiğinden farklı işlemlere de başvurabiliriz,
iki yılda 1.2 katından fazlaya ulaşır öyleyse 4 yılda 1.2*1.2=1.44 ve son yıl da 1.44+0.144=1.584 katından fazlaya ulaşır vs vs

ben olsam yılda %1 artırır 50 yıl sonra hangisine en yakın olurdu diye sorardım.

evet şimdi iyi anladım.Teşekkürler... :)