Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!

» » Denklik Bağıntısı Nedir

30 Haziran 2010 | yazan: mathsman | 10 yorum

Facebookta paylaş
“Saat aritmetiği” de diyeceğimiz bu bölümde, bildiğimiz toplama ve çarpmadan farklı yeni bir toplama ve çarpma işlemlerini göreceğiz.
Modüler Aritmetik Tanımı
a ve b tamsayıları verilen bir m pozitif tamsayısına bölündüklerinde, aynı kalanı verirse “a tam sayısı, b tam sayısına, m modülüne göre denktir” denir. a ≡ b (mod m) şeklinde gösterilir.
a ≡ b (mod m) ifadesi aynı zamanda a - b, m ile bölünür. Ya da m, a - b yi böler şeklinde de ifade edilir.











Özellikleri
Her a, b, c, d, x ∈ Z ve m, n ∈ Z+, m > 1 için;
a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise,
1, a ± c ≡ b ± d (mod m)
2. a . c ≡ b . d (mod m)
3. a ± x ≡ b ± x (mod m)
4. a . x ≡ b . x (mod m)
5. an ≡ bn (mod m)

Kalan Sınıfları Nedir?
Örnekte olduğu gibi, tam sayılar kümesinde, β = {(a, b) | a ve b nin 5 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar aynıdır.} bağıntısı ile tanımlanır. Bunu genelleştirirsek, tam sayılar kümesi üzerinde her m ∈ Z+ için, β = {(a, b ) | a - b, m ile bölünür.} bağıntısı vardır.
Bu özeliklere göre, β bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı, tam sayılar kümesini denklik sınıflarına ayırır.
Bir a tam sayısı 5 e bölündüğünde kalan 0, 1, 2, 3, 4 sayılarından biri olur. Buna göre, tam sayılar kümesi 5 modülüne göre, kalanlar sınıflarına (denklik sınıflarına) ayırır.
Herhangi bir m sayısına göre kalan sınıfları Z/m = {0, 1, 2, 3, ..., m-1}

Bu konu anlatımı videolarında Modüler Aritmetik Nedir,Denklik sınıfları, Denklik Bağıntısı Nedir başlıkları çözümlü sorular yer almaktadır. Konu ile alakalı testleri yazının altındaki linklerden indirebilirsiniz

6 Ocak 2009 | yazan: kahraman | 33 yorum

Facebookta paylaş
Sıralı İkili Nedir?
(a, b) seklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili denir. Burada a ve b birer sayı olabilecegi gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan ne oldukları degil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadıgı ikililere sadece ‘’ikili’’ deriz.ikilinin birinci sıradaki elemanına birinci bilesen, ikinci sıradaki elemanına ikinci bilesen denir.
Örnegin, (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileseni a, ikinci bileseni b’dir.
İki Kümenin Kartezyen Çarpımı
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A kümesi ile B kümesinin kartezyen çarpımı denir. Bu küme, A x B şeklinde yazılır, “A kartezyen çarpım B” diye okunur.
Bu tanıma göre, A x B = {(a, b) | a ∈ A ve b ∈ B} şeklinde ifade edilir.
Bağıntı Nedir?
A ve B boş olmayan iki küme olsun. A x B kümesinin her β alt kümesine, A kümesinden B kümesine bir ikili bağıntı veya kısaca bağıntı denir.
BAĞINTININ ÖZELİKLERİ
Yansıma Özeliği
β bağıntısı, A kümesinin üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. A kümesinin her a elemanı için (a, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının yansıma özeliği vardır veya β yansıyan bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ a ∈A için (a, a) ∈β] ise β bağıntısı yansıyandır.
Simetri Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer, her (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının simetri özeliği vardır. Veya β simetrik bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β ] ise β bağıntısı simetriktir.
Ters Simetri Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer her (a, b) ∈ β için (b, a) ∈ β iken a = b oluyorsa, ve her (a, b) ∈ β için (b,a) ∉ β ise β bağıntısının ters simetri özeliği vardır veya β ters simetrik bir bağıntıdır denir.
O halde, [∀ (a, b) ∈ β için (b, a) ∉ β] ise β bağıntısı ters simetriktir.
(a, a) şeklindeki elemanları eşit olan ikililer β bağıntısının ters simetri özeliğini bozmazlar.
Geçişme Özeliği
β bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı olsun. Eğer a, b, c ∈ A için, her (a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β ise (a, c) ∈ β oluyorsa, β bağıntısının geçişme özeliği vardır veya β bağıntısı A kümesinde, geçişken bir bağıntıdır denir.
O halde [ ∀ (a, b) ∈ β Λ (b, c) ∈ β⇒(a, c) ∈ β ] oluyorsa, β bağıntısının geçişme özeliği vardır.
Denklik Bağıntısı
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı verilsin. Bu β bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelikleri varsa, β bağıntısına A kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı denir.
β bağıntısı, A kümesinde bir denklik bağıntısı olsun. (a, b) ∈ β ise a ve b elemanları β bağıntısının denklik bağıntısına göre, birbirine denktir denir. a ≡ b şeklinde gösterilir.
Sıralama Bağıntısı
Boş olmayan bir A kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı β olsun. Bu β bağıntısının yansıma, ters simetri ve geçişme özelikleri varsa, bu bağıntıya bir sıralama bağıntısı denir. A kümesi üzerinde tanımlı β bağıntısı bir sıralama bağıntısı, olsun. A kümesinin her elemanı, β bağıntısı ile bağlı ise bu bağıntıya tam sıralama bağıntısı denir. O halde, β bağıntısı Akümesi üzerinde bir sıralama bağıntısı ise her (a, b) ∈ A için (a, b) ∈ β veya (b, a) ∈ β oluyorsa, β bağıntısı bir tam sıralama bağıntısıdır.
Konunun devamında bağıntı ve özellikleri ve çözümlü soruları mevcuttur.