Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!
5 Aralık 2008

Sizce bu doğru mu? google ara
Facebookta paylaş

Tümevarım konusundaki formüllerden birinin genellemesi gibi bir şey. Ben buna Ardışık Çarpımların Genel Toplam Formülü dedim. :) Ben lise 3 öğrencisiyim. Tümevarım konusunu işlemeye başladık. Bu konuda öğretmenimiz bize 11 tane formül ve bunların ispatlarını verdi. Bu formüller, sayıların toplanması, çarpılması gibi işlemlerle ilgili. Örneğin; 1.2.3...n=n! gibi. Şimdi gelelim benim size göstermek ve danışmak istediğim şeye. Ama ondan önce şunu göstereyim.

Bir formül için P(1) yazılır, sonuç bulunur ve doğru kabul edilir.
Aynı formül için P(k) yazılır ve doğru olduğu varsayılır.
Son olarak P(k+1) yazılarak üstteki doğru kabul edilen durumun ispatı sağlanır. Yani formülün her reel pozitif sayı için geçerliliği kanıtlanmış olur.

Öğretmenimiz bu durumlar altında bize şunu ispatladı:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3

P(1)=2
P(k)=k.(k+1).(k+2)/3
P(k+1)=(k+1).(k+2).(k+3)/3

P(k)=1.2+2.3+3.4+...+k.(k+1).(k+2)+(k+1).(k+2)=k.(k+1).(k+2)/3+(k+1).(k+2)

=>(k+1).(k+2).(k+3)/3 geliyor. Yani ispat yapıldı.

Burası bittiğinde ben eğitim fakültesi mezunu olan öğretmenimize şunu sordum:

"Hocam, aynı şey 1.2.3+3.4.5+5.6.7+...+n.(n+1).(n+2) için olsaydı sonuç n.(n+1).(n+2).(n+3)/4 çıkar mıydı?"

Öğretmenim, bu konuda bilgisi olmadığını, üniversitede öyle bir ispat öğrenmediklerini söyledi. Bunun üzerine ben yarım saatimi bu işe ayırdım ve söylediğim formülün doğruluğunu ispatladım. Bunun diğer sayılar için de aynı olacağını varsayarak şöyle bir genel formül yarattım:

1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=n.(n+1).(n+2)/3 için,

Her grupta çarpılan terim sayısı: a (Yukarıdaki formüle göre => 2)
Son çarpım grubunun ilk terimi (veya terimleri): x (Yukarıdaki formüle göre => n)
Son çarpım grubunun son terimi: y (Yukarıdaki formüle göre => (n+1))

(a, x, y pozitif reel sayılar)

olmak üzere pozitif her reel sayı için;

x.(x+1).....(x+a-1).(y+1)/(a+1) formülü geçerlidir. (Noktalı kısma gelecek çarpım grubu sayısı: a)

Tam olarak bir formül olmadığının farkındayım. Ancak böyle bir genelleme yaptım ve aklımda tutmanın çok kolay bir yolunu buldum. İzlediğim yolla diğerleri için de böyle genel bir formül yaratabileceğimi farkettim. Şimdi sormak istediğim bazı şeyler var. Ben yaptığım işin doğruluğundan eminim ancak böyle bir şey var mı? İspatı yapılıyor mu? Veya buna benzer bir genel formül yazılmış mı şu ana kadar? Bileniniz varsa bana açıklayabilir mi?

deu imt mehmet | 7 Ağustos 2011 19:30 | Ziyaretçi
avatar
evet yöntemin doğru böyle bir kural var.
   
gereksizyorumcu | 1 Ağustos 2010 21:11 | Yazar
avatar
sayın akifsivri'nin düzeltmesinden sonra toplama bakarsak

a!/0!+(a+1)!/1!+(a+2)!/2!+...+(a+k-1)!/(k-1)! olduğunu görürüz.

toplamımızı a! ile çarpıp bölersek
a!*(C(a,0)+C(a+1,1)+C(a+2,2)+...+C(a+k-1,k-1)) elde edilir.

kısa bir inceleme sonunda parantezin içinin C(a+k,k-1) olduğunu görebiliriz.(baştan başlanıp ikişerli olarak toplanırsa görülebilir) 
a!*C(a+k,k-1) ifadesini açık yazarsak
a!*(a+2)*(a+3)*(a+4)*...*(a+k)/(k-1)!
=(a+k)!/((k-1)!*(a+1))
bunun da aradığımız
k*(k+1)*(k+2)*...*(k+a)/(a+1) formülü olduğu açıkça görülmekte 
   
prohasan | 17 Eylül 2009 16:03 | Üye
avatar
üye olmadan önce bu soruyu gördüm 3 gün boyunca çalıştım ispat doğrudur.
   
bhr | 9 Haziran 2009 23:15 | Üye
avatar
yaptığın ispat doğru bu sonuca varılıyor.tebrikler.....
   
busra_55555 | 19 Şubat 2009 20:11 | Üye
avatar
öğretmenini tebrik etmek gerek ...............  ben üniverste 2 öğrencisiyim cerrahpaşadan
bu ispatları biliyorum ama dediğini biraz daha açarsan sevinirim aklıma başka şeyleerde geldi çünkü
   
akifsivri | 30 Aralık 2008 23:42 | Üye
avatar
1.2.3.....a    +   2.3.4.....(a+1)  +  3.4.5....(a+2)  +  ............
...........k(k+1)(k+2)(k+3)(k+a-1)=k(k+1)(k+2)(k+3)...(k+a)/a
sanırım kastetdiğin formülleme bu ispatlaması sana kolay gelsin
   
damci_80 | 25 Aralık 2008 19:21 | Üye
avatar
slm bende lise 4 öğrencisiyim matematiği çok seviyorum ve durmadan ispat yapıyorum. ve senin bu konuyuda ele alıp inceleceyim. inşallah bir cevap bulabilirim.
   
phoenix13y | 19 Aralık 2008 17:17 | Üye
avatar

bencede senın dızı yanlıs olmus
1.2.3+2.3.4+....+n.(n+1).(n+2)=n.(n+1).(n+2).(n+3)/4   dıye bır formulu ben ogrencılerıme verıyorum
bu sekılde yaparsan dogru olur

   
elvancan19 | 16 Aralık 2008 22:54 | Üye
avatar
peano aksiyomları...
   
ulasbayram | 15 Aralık 2008 23:25 | Üye
avatar
n.(n+1).(n+2) genel terimi ise dizi şöyle olmaz mı;
1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n.(n+1).(n+2)
sanırım öğretmenine eksik sormuşsun.

tümevarım matematik için temel konulardan biri.
doğal sayıların kurulumunda bile kullanılıyormesela.
bence biraz daha araştır çünkü güzel ispatlar var.
belki lise kitaplarında bulamazsın ama
üniversitelerin matematik bölümlerinde gösteriliyor.
oralardan ders notu ve çeşitli sorular elde edebilirsin.
kolay gelsin diyelim bakalım.:)
   
önceki 1 2 sonraki

Zorunlu

Zorunlu