Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!
16 Mart 2013
yazan: svsmumcu26

Nesne dağılımları üzerine google ara
Facebookta paylaş

nesne dağılımları Merhaba, değerli matematik tutkunları.
Piyasadaki kitaplar bu konuyu aradan verip geçiyorlar ama neyin nereden geldiğini ve insanın kafasını karıştıran bazı sorulara cevap veremiyorlar ondan sonra da çoğu öğrenci sonlu matematik konularında zorlanmaya başlıyorlar. Ben bu başlık altında en can alıcı soruları teker teker cevaplayacağım sizden bir ricam olacak karşılığında yazdıklarımı harfi harfine dikkatli bir şekilde okuyunuz. Bazı bölümlerde çeşitlilik açısından işlemleri görselleştirdim.

Sizlere bir soru sorarak başlamak istiyorum diyelim ki Elinizde “3 tane kırmızı renk birbirinin aynısı olan elma var ve siz bunları 2 kişiye paylaştıracaksınız bu işlemi kaç farklı şekilde yapabilirsiniz?”

Yukarıda sunmuş olduğum problem aslında hiç de zor olmayan bir problem çünkü sayılar ufak tutulmuş hemen hesaplanabilir.

Durumlar 0-3 , 3-0 , 2-1 , 1-2 olmak üzere 4 tanedir.Peki ya 100 tane kırmızı renk elma olsaydı gene uzun uzun tüm durumları mı hesaplayacaktınız? Sıkar! :)

İşte bunun için Ayraç Yöntemi dediğimiz bir yöntem var.Şimdi bu 3 elmamız var ya bunlara XXX harflerini denk getirelim. 2 Kutuya dağıtmak için de araya bir tane “.” koyalım.

Örneğin

X.XX => 1,2 durumunu , XXX. => 3-0 Durumunu ifade etmektedir.

Açıkçası biz 3 tane XXX ve 1 tane “.”simgesinin kendi aralarında dizilimini hesaplıyoruz başka yaptığımız bir şey yok. Bu da 4!/3!=4 şekilde yapılır.

Bu soruyu biraz daha irdeleyelim mesela bir şart daha olsaydı “Her kutuya en az 1 elma atmak zorunda olsaydık” gene mi aynı şeyi yapacaktık?

Kutularımız farklı , nesnelerimiz aynı olduğundan ilk kutuya hangi elmanın ikinci kutuya hangi elmanın atıldığının bir önemi yok örneğin ilk elmamız a diğeri b olsaydı ab, ba durumları farklı olacaktı.Yalnız burada a,b gibi bir durum yok ki elmaların hepsi aynı o halde 2 tane aa varmış gibi düşüneceğiz.İşin özü, hangi kutuya hangi elmayı attığımızın önemi yok.İki elma da aynı olduğundan sorun yok.

O halde 2 elmamızı 2 kutuya atalım geriye 1 elma kalacak ve bunu iki farklı kutuya dağıtmak istiyoruz bunun için de aralara bir yere “.”simgesi koyalım örneğin a. Durumu => 2,1 durumunu simgelesin(bakınız 2-1 durumu dedim , çünkü zaten her kutuya birer tane daha atılmıştı.)

O halde a. dizilimi , 2!/1!=2

Hakikaten hesaplarsak 2-1 , 1-2 durumu vardır… Peki ya kutular da aynı olsaydı? Aynı olurdu? Öyle mi olurdu?

Olmazdı bunun nedenini de şöyle anlatabiliriz yukarıdaki hesabımızda kutular farklıydı olsaydı örneğin ilk kutu mavi , ikinci kutu kırmızı kabul edildiğinden 2-1 ve 1-2 durumları farklı kabul edilmişti.Kutular aynı olsaydı bu sefer 2-1 ve 1-2 durumları aynı kabul edilecekti.Bunun nedeni de belli zaten ha ilk mavi kutuya 2 top atmış diğerine 1 top atmışız , ha ikinci mavi kutuya 2 top atmış ilkine 1 top atmışız.Ne fark eder!



“Peki ya toplar da farklı olsaydı?” gibi bir soruda gelmiş olabilir aklınıza bunun için de bir örnek gösterelim de takılmasın kafanıza.

2 farklı top 2 farklı kutuya kaç farklı biçimde dağıtılabilir?

Aslında yukarıdaki örneklerdeki gibi benzeri bir yol izleyeceğiz.

Bir top için kaç farklı durum vardır ? Ya ilk kutuya gider , ya ikinci kutuya.O halde her top için 2 durum vardır 2 top için 22 kadar durum vardır.
Peki ya “ 2 farklı top 2 farklı kutuya her kutuya en az 1 tane top atılacak biçimde kaç farklı şekilde dağıtılabilir?”
Yukarıda her top için 2 durum var demiştik ve toplam 4 durum olduğunu bulmuştuk.Şimdi kutulardan birinin boş olduğu durumları çıkarmalıyız söz konusu toplarımızı a,b harfleri ile simgeleyelim.

Kırmızı KutuMavi Kutu
AB0
0AB

Gibi durumlar bizim için istenmeyen durumlardır bunları çıkartmalıyız o halde 4-2 = 2 durum da da her kutuda en az bir top vardır… Burada akla gelebilecek en doğal soru şudur? Neden Ayraç Yöntemiyle çözemedik?

Sizlere bir soru sormak istiyorum; diyelim ki kırmızı kutumuzda AB topları var peki bu işlemi ayraç yöntemiyle yapsaydık biz bunların yer değişimini de hesaplamış olacaktık yani eğer farklı toplar için de yer değişimini hesaplamış olsaydık BA , AB durumlarını farklı almış olacaktık halbuki aynı şeyler bunlar topların aynı kutu içerisinde yer değişiminin bir önemi yoktur ki.İşte bu yüzden Ayraç yöntemi yapamadık burada.

*En fazla 3,5,7,8 top alabilen dört kutuya birbirinin aynısı olan 19 top kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

Kutuların alabileceği top miktarına bakalım : 3+5+7+8 = 23 , biz topları dümdüz dağıttıktan sonra 4 boş yer kalacak bunların da kutular arasındaki dağılımı bizim dağılımımızı etkileyecek 4 boş yer 4 kutu arasında 7!/ (3!.4!) kadar dağıtılırlar bu dizilimlerin bir tanesi olan (4,0,0,0) durumunu çıkarmalıyız çünkü ilk kutu 4 boş yer alamıyor. => 35-1 = 34 durum eder.

*xyz=106 eşitliğini sağlayan kaç (x,y,z) doğal sayı üçlüsü vardır?
xyz=26.56 şeklinde ifade edilebilir.Şimdi xyz simgelerine 2n.2m.2z.5a.5b.5c şeklinde 3 farklı kutuya dağıtacağız .
6 sayısı m,n,z kutularına 8! / (6!.2!) şekilde dağıtılabilir.Gene 6 sayısı da a,b,c kutularına aynı şekilde dağıtılabilir…
Evet , bu yazımızın sonuna geldik.Şimdi sizlere bir soru bırakacağım siz de onları çözün bakalım. Cevaplarınızı aşağıya yorum olarak atınız.

a+b+c+d≤2006 eşitsizliğini sağlayan kaç tane a,b,c,d doğal sayı dörtlüsü vardır?

Süleyman Şahin | 16 Mart 2013 16:13 | Ziyaretçi
avatar
Yazınız için teşekkürler, faydalı olacaktır birçok kişi için.
Son sorunuz için de şöyle bi çözüm yazabiliriz:
Yeni bir sayı daha seçelim ve bu da e olsun. Ve bu sayımız da şunu sağlasın:
a+b+c+d+e=2006 (yani bu 4lüyü her seferinde 2006ya tamamlayacak) Bu ifadeyi doğal sayılarda çözersek, c(2010,4) elde ederiz.
   

Zorunlu

Zorunlu