1/3 Nerde ya da Kaos’a Giriş

Ya da bir kelebeğin şöyle bir kanat çırpmasının on yıl sonra doğuracağı sonuçları bilemeyiz. Bu yüzden meteoroloji yalnızca bir haftalık tahmin yapabilir, bir yıl sonrasını tahmin edemez. Birbirine çok yakın koşullar, çok uzun bir süre sonra birbirine hiç benzemeyen durumlar yaratabilir.
İşte kaos kuramı bu sorunla ilgilenir. Matematikte kaos/kargaşa var mıdır? Evet vardır. Var ki kuramı bulunmuş. Matematikten bir kaos örneği vereceğim bu yazımda. 1/3’ün tam nerede olduğunu hiç merak ettiniz mi? 1/3’ün nerede olduğunu bulmaya çalışacağız.
Şurası kesin ki, 1/3, sıfırla bir arası bir sayıdır, yani [0, 1] aralığındadır.

 

 

 

 

Ama bunu bilmek 1/3’ün tam nerede olduğunu bilmek değildir. 1/3’ün tam nerede olduğunu biraz daha iyi anlayalım.
[0, 1] aralığını ortadan ikiye bölersek, 1/3 hangi tarafa düşer?
Sağa mı, sola mı? Yani 1/3, 1/2’den küçük müdür, büyük müdür?
Elbet 1/3 < 1/2 eşitsizliği geçerlidir ve 1/3 soldaki aralığa düşer.

 

 

 

 

Yukarda, [0, 1] aralığını tam ortadan ikiye bölüp, [0, 1/2]ve [1/2, 1] aralıklarını elde ettik ve gördük ki 1/3 sayısı [0, 1/2]aralığındaymış, yani, 0 ≤  1/3 ≤  1/2 eşitsizlikleri geçerliymiş.Şimdi, 1/3’ün bulunduğu [0, 1/2] aralığını tam ortadan ikiye bölelim: [0, 1/4] ve [1/4, 2/4] aralıklarını elde ederiz. 1/3 sayısı bu aralıklardan hangisine düşer? Sola mı, sağa mı? 1/4 ≤  1/3 ≤  2/4 eşitsizlikleri geçerli olduğundan, 1/3 sayısı ikinci aralıktadır, yani [1/4, 2/4] aralığındadır, yani sağa düşer.

 

 

 

 

 

 

Şimdi [1/4, 2/4] aralığını ikiye bölelim.[2/8, 3/8] ve [3/8, 4/8] aralıklarını elde ederiz. 2/8 < 1/3 < 3/8 eşitsizlikleri geçerli olduğundan, 1/3 sayısı birinci aralığa, yani sola düşer.

 

 

 

Ya [2/8, 3/8] aralığını ikiye bölecek olursak? Ve böyle devam edecek olursak?..
Genel olarak, [0, 1] aralığını 2ⁿ tane eşit uzunlukta aralığa bölecek olursak, 1/3 bu aralıklardan hangisine düşer?
Yanıtı vereyim. 1/3 sayısı, ortadan bölünen aralıkların bir soluna, bir sağına düşer. Yani, 1/2’nin soluna, 1/4’ün sağına, 3/8’in soluna, 6/16’nın sağına...

Kaos bunun neresinde?
1/3 = 0,333333... eşitliğini biliyoruz. 0,333333 sayısı 1/3’e çok yakın bir sayıdır ama 1/3 değildir. 0,333333 sayısı da başlangıçta 1/3 gibi bir sola, bir sağa düşer, ama bir zaman sonra 1/3’ün davranışından tamamıyla uzaklaşır, sanki 1/3’le uzaktan yakından bir ilgisi yokmuş gibi davranır. İşte bu kaostur.
Birbirine çok yakın iki sayı, bir süre benzer biçimde davranırlar, ama bir süre sonra birinden alınan bilgi, öbürü hakkında bize hiçbir bilgi vermez. 1/3’ün nerde olduğuna geri dönelim. Aşağıdaki eşitliklerin bir kısmını bulduk, bulmadıklarımızın da doğru olduklarını kontrol etmek pek zor değildir:
0/2  ≤  1/3 ≤  1/2
1/4  ≤  1/3 ≤  2/4
2/8  ≤ 1/3  ≤  3/8
5/16  ≤ 1/3  ≤  6/16
10/32  ≤ 1/3  ≤  11/32
21/64  ≤  1/3 ≤  22/64
42/128  ≤ 1/3   ≤ 43/128

n kaç olursa olsun, öyle bir an tamsayısı vardır ki, a_n/2n ≤  1/3 ≤ (a_n + 1)/2ⁿ      (1)
eşitsizlikleri geçerlidir. Yukardan da anlaşılacağı üzere,
a₁ = 0
a₂ = 1
a₃ = 2
a₄ = 5
a₅ = 10
a₆ = 21
a₇ = 42
eşitlikleri geçerlidir. Bundan sonraki sayıları bulmak da pek güç değil, dizi şöyledir: 0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682, ... Bu dizinin sonraki sayılarını okur kolaylıkla tahmin edebilir. Ama elbet, tahmin yalnızca bir tahmindir. Bu tahminin kanıtlanması gerekmektedir.
Şimdi,
n tekse, an çifttir
n tekse, an tektir.
önermesini kanıtlayacağız. Kanıt için bakınız (1) (2) (3)
Demek ki,
n çiftse, 2ⁿ = 3.a_n + 1
n tekse, 2ⁿ = 3.a_n + 2
önermesini kanıtladık, yani,
n çiftse, a_n = (2ⁿ - 1)/3
n tekse, a_n = (2ⁿ -  2)/3
önermesini kanıtladık. Ne güzel!

Şimdi a_n’nin tekliği-çiftliği konusuna dönelim.
Eğer n çiftse, yani a_n = (2ⁿ - 1)/3 ise, an ikiye bölünemez, çünkü 2ⁿ – 1 ikiye bölünemez. Dolayısıyla bu şıkta an tektir.
Eğer n tekse, yani a_n = (2ⁿ -  2)/3 = 2(2^n-1 – 1)/2 ise, elbette an ikiye bölünür.
Bu da, 1/3 sayısının aralıkların bir soluna, bir sağına düştüğünü gösterir.
Son olarak aşağıdaki güzel eşitliği kanıtlayayım:
1/3 = 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + ... (3)
Bu eşitliğin sağındaki toplam sonsuz bir toplamdır.
Sağdaki sonsuz toplama x diyelim:
x = 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + ...
Şimdi x’i ikiyle çarpalım:
2x = 2(1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + 1/128 – 1/256 + ...)
= 1 – 1/2 + 1/4 –1/8 + 1/16 – 1/32 + 1/64 –1/128 + ...
= 1 – (1/2 –1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + 1/128 – ...)
= 1 – x.
Yani 2x = 1 – x. Bundan da kolaylıkla x = 1/3 çıkar!
(3) eşitliği kanıtlanmıştır1.
Bu kanıt sizi (3) eşitliğine inandıramadıysa hesaplayın:
1/2 = 0,5
1/2–1/4 = 0,25
1/2–1/4+1/8 = 0,375
1/2–1/4+1/8–1/16 = 0,3125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32 = 0,3475
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64 = 0,328125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128 = 0,3359375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256 = 0,33203125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512 = 0,333984375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024 = 0,3330078125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048 = 0,33349609375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048–1/4096=
0,333251953125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048–1/4096+1/8192=
0,3333740234375.
Görüldüğü gibi, işlemleri yaptıkça 0,3333... sayısına, yani 1/3’e yaklaşıyoruz. İşlemleri sonsuza dek yapmaya zamanımız olsaydı, tam 1/3 bulurduk. İşlemleri sonsuza dek yapamasak bile, yukarda yaptığımız gibi, sonsuz işlemin sonucunun 1/3 olduğunu matematikle buluruz.
Yazının birinci bölümündeki sorunun yanıtı, (3) eşitliğinden de bulunabilir.
Dileyen okur “1/5 nerde?” sorusunu yanıtlayabilir.

Yazar: Prof. Dr.Ali NESİN

Kaynak:MatematikDunyasi.com

Not: Matematik Dünyası dergisinin yazılarından bir kaçı için izin alınmıştır.