Yükleniyor, lütfen bekleyiniz!

altKaos, matematiğin oldukça yeni kuramlarından biridir. Kaos, kargaşa anlamına gelen Yunanca kökenli bir sözcüktür. Kaos kuramını biraz açıklamaya çalışayım. Şöyle kuvvetlice öksürün. Atmosferde küçücük bir değişiklik yaptınız, hafif bir dalgalanma oldu: Hava alıp verdiniz. Bu küçük atmosfer değişikliğinin bugün ya da yarın sonuçlarını göremeyebilirsiniz. Ama bir yıl sonra, o kuvvetli öksürüğünüz Bengladeş’te evleri yerle bir eden bir tayfuna neden olabilir Belki... Bilinmez...

Ya da bir kelebeğin şöyle bir kanat çırpmasının on yıl sonra doğuracağı sonuçları bilemeyiz. Bu yüzden meteoroloji yalnızca bir haftalık tahmin yapabilir, bir yıl sonrasını tahmin edemez. Birbirine çok yakın koşullar, çok uzun bir süre sonra birbirine hiç benzemeyen durumlar yaratabilir.
İşte kaos kuramı bu sorunla ilgilenir. Matematikte kaos/kargaşa var mıdır? Evet vardır. Var ki kuramı bulunmuş. Matematikten bir kaos örneği vereceğim bu yazımda. 1/3’ün tam nerede olduğunu hiç merak ettiniz mi? 1/3’ün nerede olduğunu bulmaya çalışacağız.
Şurası kesin ki, 1/3, sıfırla bir arası bir sayıdır, yani [0, 1] aralığındadır.
alt
 
 
 
 
Ama bunu bilmek 1/3’ün tam nerede olduğunu bilmek değildir. 1/3’ün tam nerede olduğunu biraz daha iyi anlayalım.
[0, 1] aralığını ortadan ikiye bölersek, 1/3 hangi tarafa düşer?
Sağa mı, sola mı? Yani 1/3, 1/2’den küçük müdür, büyük müdür?
Elbet 1/3 < 1/2 eşitsizliği geçerlidir ve 1/3 soldaki aralığa düşer.

alt
 
 
 
 
Yukarda, [0, 1] aralığını tam ortadan ikiye bölüp, [0, 1/2]ve [1/2, 1] aralıklarını elde ettik ve gördük ki 1/3 sayısı [0, 1/2]aralığındaymış, yani, 0 ≤  1/3 ≤  1/2 eşitsizlikleri geçerliymiş.Şimdi, 1/3’ün bulunduğu [0, 1/2] aralığını tam ortadan ikiye bölelim: [0, 1/4] ve [1/4, 2/4] aralıklarını elde ederiz. 1/3 sayısı bu aralıklardan hangisine düşer? Sola mı, sağa mı? 1/4 ≤  1/3 ≤  2/4 eşitsizlikleri geçerli olduğundan, 1/3 sayısı ikinci aralıktadır, yani [1/4, 2/4] aralığındadır, yani sağa düşer.
 
alt
 
 
 
 
 
Şimdi [1/4, 2/4] aralığını ikiye bölelim.[2/8, 3/8] ve [3/8, 4/8] aralıklarını elde ederiz. 2/8 < 1/3 < 3/8 eşitsizlikleri geçerli olduğundan, 1/3 sayısı birinci aralığa, yani sola düşer.
alt
 
 
 

Ya [2/8, 3/8] aralığını ikiye bölecek olursak? Ve böyle devam edecek olursak?..
Genel olarak, [0, 1] aralığını 2n tane eşit uzunlukta aralığa bölecek olursak, 1/3 bu aralıklardan hangisine düşer?
Yanıtı vereyim. 1/3 sayısı, ortadan bölünen aralıkların bir soluna, bir sağına düşer. Yani, 1/2’nin soluna, 1/4’ün sağına, 3/8’in soluna, 6/16’nın sağına...

Kaos bunun neresinde?
1/3 = 0,333333... eşitliğini biliyoruz. 0,333333 sayısı 1/3’e çok yakın bir sayıdır ama 1/3 değildir. 0,333333 sayısı da başlangıçta 1/3 gibi bir sola, bir sağa düşer, ama bir zaman sonra 1/3’ün davranışından tamamıyla uzaklaşır, sanki 1/3’le uzaktan yakından bir ilgisi yokmuş gibi davranır. İşte bu kaostur.
Birbirine çok yakın iki sayı, bir süre benzer biçimde davranırlar, ama bir süre sonra birinden alınan bilgi, öbürü hakkında bize hiçbir bilgi vermez. 1/3’ün nerde olduğuna geri dönelim. Aşağıdaki eşitliklerin bir kısmını bulduk, bulmadıklarımızın da doğru olduklarını kontrol etmek pek zor değildir:
0/2  ≤  1/3 ≤  1/2
1/4  ≤  1/3 ≤  2/4
2/8  ≤ 1/3  ≤  3/8
5/16  ≤ 1/3  ≤  6/16
10/32  ≤ 1/3  ≤  11/32
21/64  ≤  1/3 ≤  22/64
42/128  ≤ 1/3   ≤ 43/128
n kaç olursa olsun, öyle bir an tamsayısı vardır ki, an/2n ≤  1/3 ≤ (an + 1)/2n      (1)
eşitsizlikleri geçerlidir. Yukardan da anlaşılacağı üzere,
a1 = 0
a2 = 1
a3 = 2
a4 = 5
a5 = 10
a6 = 21
a7 = 42
eşitlikleri geçerlidir. Bundan sonraki sayıları bulmak da pek güç değil, dizi şöyledir: 0, 1, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341, 682, ... Bu dizinin sonraki sayılarını okur kolaylıkla tahmin edebilir. Ama elbet, tahmin yalnızca bir tahmindir. Bu tahminin kanıtlanması gerekmektedir.
Şimdi,
n tekse, an çifttir
n tekse, an tektir.

önermesini kanıtlayacağız. Kanıt için bakınız (1) (2) (3)
Demek ki,
n çiftse, 2n = 3.an + 1
n tekse, 2n = 3.an + 2
önermesini kanıtladık, yani,
n çiftse, an = (2n - 1)/3
n tekse, an = (2n -  2)/3
önermesini kanıtladık. Ne güzel!

Şimdi an’nin tekliği-çiftliği konusuna dönelim.
Eğer n çiftse, yani an = (2n - 1)/3 ise, an ikiye bölünemez, çünkü 2n – 1 ikiye bölünemez. Dolayısıyla bu şıkta an tektir.
Eğer n tekse, yani an = (2n -  2)/3 = 2(2n-1 – 1)/2 ise, elbette an ikiye bölünür.
Bu da, 1/3 sayısının aralıkların bir soluna, bir sağına düştüğünü gösterir.
Son olarak aşağıdaki güzel eşitliği kanıtlayayım:
1/3 = 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + ... (3)
Bu eşitliğin sağındaki toplam sonsuz bir toplamdır.
Sağdaki sonsuz toplama x diyelim:
x = 1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + ...
Şimdi x’i ikiyle çarpalım:
2x = 2(1/2 – 1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + 1/128 – 1/256 + ...)
= 1 – 1/2 + 1/4 –1/8 + 1/16 – 1/32 + 1/64 –1/128 + ...
= 1 – (1/2 –1/4 + 1/8 – 1/16 + 1/32 – 1/64 + 1/128 – ...)
= 1 – x.
Yani 2x = 1 – x. Bundan da kolaylıkla x = 1/3 çıkar!
(3) eşitliği kanıtlanmıştır1.
Bu kanıt sizi (3) eşitliğine inandıramadıysa hesaplayın:
1/2 = 0,5
1/2–1/4 = 0,25
1/2–1/4+1/8 = 0,375
1/2–1/4+1/8–1/16 = 0,3125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32 = 0,3475
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64 = 0,328125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128 = 0,3359375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256 = 0,33203125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512 = 0,333984375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024 = 0,3330078125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048 = 0,33349609375
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048–1/4096=
0,333251953125
1/2–1/4+1/8–1/16+1/32–1/64+1/128–1/256+1/512–1/1024+1/2048–1/4096+1/8192=
0,3333740234375.
Görüldüğü gibi, işlemleri yaptıkça 0,3333... sayısına, yani 1/3’e yaklaşıyoruz. İşlemleri sonsuza dek yapmaya zamanımız olsaydı, tam 1/3 bulurduk. İşlemleri sonsuza dek yapamasak bile, yukarda yaptığımız gibi, sonsuz işlemin sonucunun 1/3 olduğunu matematikle buluruz.
Yazının birinci bölümündeki sorunun yanıtı, (3) eşitliğinden de bulunabilir.
Dileyen okur “1/5 nerde?” sorusunu yanıtlayabilir.
Yazar: Prof. Dr.Ali NESİN

oğuz | 23 May 2011 00:56 | Ziyaretçi
avatar
matematikte kaos yoktur.matıklı bir açıklama yapılmazsa işte o zaman kaos olur
1/3 böyle matematiksiz ve mantıksız birtablo  olmaz  şimdi  kaos olmuş
   
diceday | 17 Eylül 2009 14:42 | Üye
avatar
 mathsman, hmm tamam o zaman ikna olmama gerek kalmadı..anlamama da..hem anlasam noolcak dimi? deniz yıldızı mı bu? alinesinsman, keşke "yazdıklarıma" cevap verseydin..
   
mathsman | 11 Eylül 2009 23:01 | Yönetici
avatar
diceday, kaostan bahseden ben değilim . Prof Dr. Ali NESİN.
www.alinesin.org
__________________

Sitemizi arkadaşlarınıza tavsiye ediniz. Destek için yazının altındaki Beğen butonuna tıklayınız.
   
diceday | 9 Eylül 2009 14:36 | Üye
avatar
Yazıda geçen iyi de kaos bunun neresinde sorusunu tekrarlamak istiyorum. 0.33333 sayısının yada 1/3'ün nasıl hareket ettiği belli iken kaostan nasıl bahsedebiliyoruz tam olarak anlayamadım? Bana göre ve ispatlandığı üzere 0,33333 saysı ile 1/3 sayısı arasında dağlar kadar fark var. Bu fark bizi neden kaosa götürüyor? Bir aynılık olsa ve o aynılıkta az bir sapma yüzünden büyük faklılıklar olsa tamam. Ama bu iki sayı birbirinden sayılamayan sonsuz adedince uzak.

( Paylaşım: Yukarıdaki (3) eşitliğindeki toplam serisinde hepsinin işaretini + alırsak 1/2 + 1/ 4 + ... şeklinde sonsuza giden toplamın 1 e eşit olduğunu farketmek hoşuma gitti. )

...sayılamayan
   
sarahpotter | 9 Ağustos 2009 23:56 | Üye
avatar
İlginç bir konu ve uğraşmaya değer:)
   
matemematik tutkunu | 27 Temmuz 2009 18:49 | Üye
avatar
kesinlikle guzel bi konu zaten matematiğin her konusu çok guzel
   
casmine | 3 Haziran 2009 19:55 | Üye
avatar
     matematiksel olarak işlem kusursuz.  yalnız son parağraftaki sözel ifade hatalı. işlem sonsuza dek devam ettirilse bile hiç bir zaman 1/3 elde edilemez. sadece bir önceki adıma göre 1/3 e daha yakın bir noktaya konumlanılır.
    matematiğin şaheserliği ise dizisel ispatta gizli. sonsuz seriye(mutlak sonuca zaman kavramı altında erişmek mümkün değildir) x bilinmeyenini atayarak sabitlemek.. 
   
elmakurdu | 27 May 2009 16:34 | Üye
avatar

yok ben almıyım benim gözüm korktu

   

Zorunlu

Zorunlu