[matox]

2.soru

her x,y ∈R için f(x+y) - f(x-y)=2xy ise f'(3)=?

[mathematics21]

1) Het t anında adamın fenere uzaklığı y = y(t) m ve gölgenin uzunluğu x = x(t) m olsun.

Benzerlikten y = 4x bulunur. Her tarafın t'ye göre türevini alırsak y' = 4x' olur.
Adamın hızı 8 m/sn olduğu için y '= 8 m/sn dir. Bu durumda x' = 2 m/sn olur.

Yani gölgenin değişim hızı 2 m/sn dir. (Adam sola doğru gidiyorsa gölge saniyede 2 m uzar, sağa doğru gidiyorsa gölge saniyede 2 m kısalır) Şimdi adam sola doğru 8 m/sn hızla gidiyorsa ve gölge saniyede 2 m hızla artıyorsa gölgenin hızı 10 m /sn dir diyebilir miyiz bilmiyorum ! Yani gölgeyi saniyede 8 m kaydırıp 2 m uzatmak hızının 10 m/sn olduğu anlamına geliyor mu birşey diyemeceğim.

Şöyle anlatmaya çalışayım: Adam bir saniye sonra 8 m solda bulunuyor. Dolayısıyla gölgenin en sağ tarafındaki nokta ilk konumuna göre 8 m sola kaymıştır. Bu arada gölge 2 m uzadığı için gölgenin en sol noktası eski konumuna göre 10 m uzaktadır. Ya da gölgenin orta oktası ilk konumuna 9 m sola kaymıştır. Bu durumda gölgenin hızına ne demeliyiz?

Yuvarlakları taşırmadan doldurmaca tarzı sınavlarda böyle bir sorunun, verilen şıklardan, cevabı 10 dur ama bir önceki paragrafta yazdıklarımdan 10 demek doğru değil.

2) Her x, y gerçel sayıları için verilen eşitlik doğru olduğuna göre özel olarak y = x için de doğrudur. Yani

f(2x)-f(0)=2x² dir. Bunun x e göre türevi alınırsa

2f'(2x) = 4x ve buradan da f ' (x) = x bulunur. f'(3)=3 tür.