1. #1

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Matematiksel İspat Teknikleri

    İspat Yöntemleri

    Matematiksel İspat Teknikleri

    Buradan alıntıdır.

    Özellikle öğrencilerin, gereksiz gördüğü ya da zor bulduğu için es geçtiği ispatlar aslında matematiğin en gerekli, çoğu zaman zevkli ve matematikçileri en çok uğraştıran kısmıdır. Ne de olsa ispatlar, matematiksel ifadelerin geçerliliğinin teminatıdır. Bugün cevabı bulunmamış pek çok matematik sorusu ispatlanması istenen ifadelerden ibarettir. İspat yapmanın çok çeşitli yolları vardır. Bu nedenle sık sorulan bir soru, bir teoremi ispatlamak için hangi tekniği seçmek gerektiğini nasıl bileceğimizdir? İşte bu, ancak pek çok ispatı incelemek ve çalışmakla kendinden gelişecek bir özelliktir. Kimi zamansa şanstır. Ama unutmayın şans ancak hazırlıklı kafalara güler! Hazırlıklı olmak için de, tekniklerden haberdar olmak gereklidir.

    Doğrudan İspat Yöntemi
    Olmayana Ergi Yöntemi
    Tümevarım Yöntemi
    Konstrüktif İspat Yöntemi
    Kontrapozitif Teknik

    Doğrudan İspat Yöntemi

    En temel ve basit ispat şeklidir. Doğru olduğu gösterilmek istenen ifade, direk olarak, doğruluğu kanıtlanmış başka ifadelerle veya aksiyomlarla türetilir. Türetmek için, bu ifadeleri mantık kuralları çerçevesinde doğrudan birleştirme yapabilirsiniz. Bu birleştirmeyi örneklendirmek için felsefede oldukça sık kullanılan bir örneği verebiliriz:

    Tüm insanlar ölümlüdür.
    Sokrat bir insandır.

    Verilen bu iki ifadeyi birleştirerek şu çıkarımı elde ederiz:

    Sokrat bir ölümlüdür.

    Matematikte "iki çift sayının toplamı çifttir"; "iki rasyonel sayının çarpımı da bir rasyonel sayıdır."şeklindeki ifadeleri doğrudan tanım kullanarak ispatlayabilirsiniz. Sadece tanımlar değil önceden ispatladığınız teoremler de ispat basamaklarında yer alabilir.

    Olmayana Ergi Yöntemi

    Bu yöntemde doğruluğunu göstermeyi planladığınız ifadenin yanlış olduğunu kabul ederek işe başlıyorsunuz. Yanlışlığı ispatlama yolunda bir çelişkiye varıyorsunuz. Sonuç olarak başta yanlış olduğunu kabul ettiğiniz ifadenin aslında doğru bir ifade olduğunu ispatlamış oluyorsunuz. Bu yöntemle ispatlanan çok ünlü teoremler var.

    Teorem: Sonsuz tane asal sayı vardır.

    İspat (Öklid): Varsayalım ki sonlu tane asal sayı olsun:

    2,3,5,7,11,.,P

    Şimdi bu asal sayıların hepsini çarpıp 1 ekleyelim ve yeni bir sayı tanımlayalım:

    K = 2.3.5.7.11.P + 1

    Bu sayı tüm asal sayılardan büyüktür, çünkü hepsini birbiriyle çarptık ve bu da yetmezmiş gibi bir de ekleme yaptık. Öyleyse K bir asal sayı değildir. Bu durumda K nın kendinden ve 1'den farklı bir asal çarpanı vardır çünkü bileşik (asal olmayan) sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ama K sayısını, hangi asal sayıya bölersek bölelim 1 kalanını elde ederiz ki bu da tam bölünmediğinin yani asal bir çarpanının olmadığının bir göstergesidir. Öyleyse K asal bir sayıdır . Daha önce bunun tam tersi olduğunu göstermiştik. Sonuç olarak bir çelişkiye vardık. Yani sonlu tane asal sayı vardır ifadesi yanlıştır. Sonsuz tane asal sayı vardır.


    Tümevarım Yöntemi

    Verilen bir ifadenin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir yöntemdir. Bu yönteme ifadenin önce 1 için (daha doğrusu, ifadenin doğruluğunun başladığı doğal sayı için) doğru olduğu gösterilir. Daha sonra n doğal sayısı için doğru olduğu farz edilir ve n+1 doğal sayısı için doğru olduğu gösterilir. Bu da herhangi bir doğal sayı için doğruysa sonraki için de doğru olacağını ispatladığından bütün doğal sayılar için geçerli bir ifade olduğu anlamına gelecektir. Bu yöntem genelde sonsuz sayıda domino taşlarının dizilmesine benzetilir. n. taşın devrilmesi bir sonraki yani n+1. taşın da devrilmesi anlamına geleceğinden taşların tamamı devrilecektir. Tabi ki yine n=1 için doğruluğunu söylemek lazım. Bunun için de ilk taşı devirmeniz yeterli olacaktır.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Matematiksel Objeler Odası
    Serkan A. bu konuyu Matematik Sunumları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 04 Şub 2014, 21:27
  2. Dünyayı değiştiren 10 matematiksel eşitlik
    Serkan A. bu konuyu Matematik Sunumları forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 04 Şub 2014, 03:07
  3. türkçe-anlatım teknikleri
    duncanduncan bu konuyu Lise Dersleri forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 24 Mar 2012, 03:06
  4. Google'a matematiksel grafik özelliği gelmiş.
    Serkan A. bu konuyu Sohbet forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 08 Ara 2011, 00:48
  5. Matematiksel İspat ve Matematiksel Muhakemenin Gelişimi Üzerine ...
    MatematikciFM bu konuyu Sohbet forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 14 May 2011, 17:06
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları