[duygu95]

Konunun altına yazılmış , demek ki Cauchy-Schwarz ile çözülebiliyor. Olimpiyatın 1. sorusu olduğuna göre de fazla zor olmasa gerek.

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum.

[gereksizyorumcu]

x²+y²+z²=810 , 5x+4y+3z=201 için
(20,17,11) , (21,15,12) nin çözüm olduğu görülüyor.

x²+y²+z²=809 , 5x+4y+3z=201 için pozitif tamsayılarda çözüm olmayacağını göstermeye çalışırız.
809≡2 (mod3) olduğundan sayılardan tam olarak 1 tanesi 3 ile bölünür ikinci eşitlikte bu inceleme yapılırsa bunun z olduğu görülür. ayrıca x≡y (mod3) de elde edilir.

buradan sonra aklıma z için 3,6,9.. gibi inceleme yapmaktan başkası gelmedi şimdilik.
z=3 →
x²+y²=800 ve 5x+4y=192 , yine CSI den (5x+4y)²=192²≤(x²+y²).(5²+4²)=800.41 , ama bu eşitsizlik sağlanmıyor yani böyle x ve y ler bulunamıyor.

z=6 için
x²+y²=773 ve 5x+4y=183 aynı şekilde 183²≤773.41 çelişkisi elde edilir

z=9 için
x²+y²=728 ve 5x+4y=174 , buradan 174²≤728.41 olması gerektiği bulunur yine çelişki

z=12 ye sonra bakalım
z=15 , 18 , 21 , 24 ve 27 için benzer çelişkiler elde edilir

z=12 oluğunda
x²+y²=665 ve 5x+4y=165

ikinci eşitlik 5 modunda incelendiğinde y≡0 (mod5) elde edilir.
ilk eşitlik 5 modunda incelendiğinde x≡0 (mod5) elde edilir.
sonucunda x²+y²≡0 (mod25) elde edilir ama 665≢0 (mod25)

bu kötü çözümün sonucu olarak böyle sayılar olmadığını görürüz.

[gereksizyorumcu]

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum.

P noktalarının yrini bulman gerekiyor
mesela atıyorum bu eşitsizliği yazdığında dikmelerden ikisinin uzunluğunun 0 olması gerektiğini buluyorsundur sonuç olarak P noktasının köşelerden birinde olması gerektiğini falan bulmuş olursun.

[gereksizyorumcu]

şimdi defterleri kurcalıyodum bi tane daha soru buldum , her ne kadar direkt uygulaması olmasa da bu da bir örnek sayılır.

a+b=1 ve a>0 , b>0 için
(a+(1/a))² + (b+(1/b))² ≥ 25/2
olduğunu gösteriniz.

[duygu95]

Hocam ilk yazdığınız sorunun çözümünü yazabilir misiniz ? çözemedim merak ettim.

[gereksizyorumcu]

Hocam ilk yazdığınız sorunun çözümünü yazabilir misiniz ? çözemedim merak ettim.

aslında çözdün de budu diyip sonuçlandıramıyosun

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

böyle bir şey mi bulmam gerekiyor ? yoksa sayısal bir şey mi bilmediğim için sormuştum.

(BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF)≥(BC+CA+AB)²/(BC.PD+CA.PE+AB.PF)

bize verilen bir üçgende BC,CA ve AB uzunlukları kenarlardır ve sabittir , BC.PD+CA.PE+AB.PF çarpımı da alanın 2 katıdır ve sabittir kısaca sağ taraf sabittir. P noktasının seçimine göe sol taraf en az bu değeri alacağına göre P noktası eşitliğin sağlandığı noktada seçilmelidir, eşitlik ise
(BC/PD,CA/PE,AB/PF) ile (BC.PD,CA.PE,AB.PF) vektörleri lineer bağımlı olduğunda ya da biri diğerinin k bir reel sayıyken k katı olduğunda geçerlidir

burada PD=PE=PF bulunur , bu nokta da içteğet çemberin merkezi olur.

[duygu95]

Evet, gerisini düşünemedim saolun

[Cem1971]

şimdi defterleri kurcalıyodum bi tane daha soru buldum , her ne kadar direkt uygulaması olmasa da bu da bir örnek sayılır.

Pek sık giremiyorum, fırsat buldukça girmeye çalışıyorum. Bu yüzden mesajlara cevaplar gecikiyor, kusura bakmayın.
Duygu Hanım dokunmadığına göre, ilk önce şu sorunuzu cevaplayayım Sevgili "Gereksiz(!)" kardeşim.

[Cem1971]

Hocam soruda x,y,z için pozitif tamsayılar denildiğinden daha keskin bi inceleme yapılması gerekmez mi? 809 değerini alabileceğini sanmıyorum. hatta bi kağıt kalem elime alayım bakalım bişeyler bulabilecek miyim

Tabiî ki, sökonusu soruyu CSE'ye uyarlarken o kısmı atlamışım. Reel sayı demeliydim. Tamsayı için vermez tabiî ki, boşuna tanımda "reel sayı" dememiş Koşi. Bir bildiği var.
Fakat bu adamın bulduğu eşitsizlik o kadar sağlıklı - gerçeğe yakın ki neredeyse tamsayı için de aynı sonucu verecek ve tahminimce, tamsayılar için min=810 olacak. Reel ile tamsayının min'liğii arasında çok az bir oynama oluyor. Bunu benzer sorularda da görebilirisiniz.
Diyafont denklemi kullanarak 810 için (21,15,12) ve (20,17,11) görülebiliyor. Ben de manuel olarak birkaç çözüm yaptım, 810'dan daha küçüğüne rastlamadım.
Bu mânâda, yukarıdaki sorunuzda ve 809 için mod'u kullanarak yaptığınız ispatta haklısınız.

[Cem1971]

(IMO 1981/1) Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC , CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D,E ve F olsun. (BC/PD)+(CA/PE)+(AB/PF) toplamını minimum yapan tüm P noktalarını belirleyiniz.

Bu soruya yapılan çözüme binâen benzer veya eşdeğer olimpik bir soru da ben yazayım:

Herhangi bir ABC üçgeninin içindeki bir P noktasından BC, CA ve AB ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla D, E ve F olsun. |PD|²+|PE|²+|PF|² toplamının minimum olması için üçgenin kenarları ile inilen dikmeler arasında nasıl bağıntı olmalıdır?

Çözüm:
CSE kullanılırsa,
(|AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE|)²≤(|AB|²+|BC|²+|CB|²).(|PF|²+|PD|²+|PE|²)
Kenarlar ve |AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE| toplamı sabittir. Diğer taraftan CSE'nin sağ tarafı açılırsa,

(|AB|.|PF|+|BC|.|PD|+|AC|.|PE|)²+(|AC|.|PD|-|BC|.|PE|)²+(|BC|.|PF|-|AB|.|PD|)²+(|AB|.|PE|-|AC|.|PF|)² elde edilir.

İstenen toplamın min olması için (|AC|.|PD|-|BC|.|PE|)²+(|BC|.|PF|-|AB|.|PD|)²+(|AB|.|PE|-|AC|.|PF|)² toplamının min olması gerekir ki tam kareden dolayı

|AC|.|PD|=|BC|.|PE| --> |BC|/|PD|=|AC|/|PE|
|BC|.|PF|=|AB|.|PD| --> |BC|/|PD|=|AB|/|PF|
|AB|.|PE|-|AC|.|PF| --> |AC|/|PE|=|AB|/|PF| ---> |BC|/|PD|=|AC|/|PE|=|AB|/|PF| bağıntısı elde edilmiş olur.