1. #1
    besra
    Ziyaretçi

    euler formülü ve de moivre formülü ispatı ?

    euler formülü ve de moivre formülünün ispatlarını istiyorum

  2. #2

    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni

    bunun mu?
    yoksa

    bunu mu ispatı?
    İlki özdeşliği ikincisi formülü diye geçerde.

  3. #3
    Alp
    Alp isimli üye şimdilik offline konumundadır

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Aslında sormak istediği e+1=0 ise Hocamızın verdiği formülden bu özdeşliğe ulaşabiliriz.
    ise

    olur.
    Aslında bu formül muazzam bi formüldür.Pozitif bir sayının üssünü -1 e eşitleyen bir formüldür.Bu nasıl olur diye düşünmemeliyiz.Çünkü reel eksende işlem yapmıyoruz burada.
    Aynı şekilde ln(-1)=iπ olur. Burdada tanımlı olamaz diyemeyiz.

  4. #4
    Alp
    Alp isimli üye şimdilik offline konumundadır

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    de moivre için ise şöyle bir şey buldum,



    euler formülünden,

    (de moivre formülü)

  5. #5

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
    (cosx-isinx)eix ifadesinin x e göre türevini alalım

    =(cosx-isinx)'.eix+(cosx-isinx).(eix)'
    =(-sinx-icosx).eix+(cosx-isinx).i.eix
    =eix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
    =eix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
    =0

    bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
    x=0 için değeri 1 olduğuna göre
    (cosx-isinx)eix=1 her zaman sağlanmalıdır.

    eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
    (cos²x-i²sin²x)eix=cosx+isinx
    (cos²x+sin²x)eix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
    eix=cosx+isinx=cisx olur.

  6. #6
    Alp
    Alp isimli üye şimdilik offline konumundadır

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Alıntı gereksizyorumcu'den alıntı Mesajı göster
    i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
    (cosx-isinx)eix ifadesinin x e göre türevini alalım

    =(cosx-isinx)'.eix+(cosx-isinx).(eix)'
    =(-sinx-icosx).eix+(cosx-isinx).i.eix
    =eix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
    =eix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
    =0

    bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
    x=0 için değeri 1 olduğuna göre
    (cosx-isinx)eix=1 her zaman sağlanmalıdır.

    eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
    (cos²x-i²sin²x)eix=cosx+isinx
    (cos²x+sin²x)eix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
    eix=cosx+isinx=cisx olur.
    İspatıda formül kadar güzelmiş hocam ellerinize sağlık.

  7. #7

    Grubu
    Üye
    İş
    9. sınıf
    konu için biraz geç olduğunun farkındayım ama yeni bir başlık açmayayım dedim

    ex = x⁰/0!+x¹/1!+x²/2!+x³/3!... + xn/n! + .. olduğunu e sayısının tanımından biliyoruz
    eğer cos ve sin fonksiyonlarının taylor seri açılımınlarını alırsanız
    cosx=1-x²/2!+x⁴/4!..=(-1)n 2n/(2n)!+++
    sinx =x-x³/3!+..+(-1)n x2n+1/(2n+1)!+...
    ve
    in = için
    n = 4k = 1
    n = 4k+1 = i
    n= 4k+2 =-1
    n = 4k+3 = -i oldugunu biliyoruz(k 0,+sonsuza kadar bütün reel sayılar)
    o halde
    eix yazarsak şu açılımı elde ederiz
    eix= 1+ix-x²/2!...
    yukarıdaki sinx ve cosx tanımlamalarımızı ele alırsak
    eix = 1-x²/2!+x⁴/4!..+(-1)n 2n/(2n)!+.. + i*(x-x³/3!+..+(-1)n x2n+1/(2n+1)!...
    olacagını görebiliriz
    ki buda
    eix = cosx+isinx i getirir.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Yeni bir pi formülü
    enigman bu konuyu Özel geometri soruları forumunda açtı
    Cevap: 6
    Son mesaj : 05 Mar 2014, 02:44
  2. kareler toplamı formülü ispatı
    ycebeci bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 2
    Son mesaj : 21 May 2013, 21:11
  3. fıkranın formülü
    korkmazserkan bu konuyu Eğlence forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 13 Eyl 2011, 23:22
  4. Dairenin Alanı Formülü - Dairenin Çevre Formülü
    Alp bu konuyu Geometri Formülleri forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 19 Şub 2011, 02:09
  5. Fonksiyon Sayısı Formülü
    matci bu konuyu Matematik Formülleri forumunda açtı
    Cevap: 0
    Son mesaj : 19 Oca 2011, 00:31
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları