F(n,k) diye bi fonksiyon tanımlayalım n'in k tane sayı toplamıyla yazılmalarının sayısı olsun
mesela F(10,4)=1 (1+2+3+4)
burada her n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır yani en son F(22,k) için inceleme yapacağımızdan (k²+k)/2≤22 → k 6 olabilir.
şimdi bir tespit yapalım;
F(n,k) oluşturulurken sayılar küçükten büyüğe sıralandığında her sayıdan 1 çıkartalım
eğer sayılar 1 ile başlıyosa sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k-1) lere
eğer sayılar 1 ile başlamıyosa da sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k) lara ulaşırız , peki sonu 9 ile bitmek ne demek?
sonu 9 ile biten F(a,b) lerin sayısı sonu 9 ile bitmeyen F(a-9,b-1) ler olarak bulunabilir.
yani sonuç olarak şu ilişkiyi kurabiliyoruz
F(n,k)=F(n-k,k-1)-F(n-k-9,k-2)+F(n-k,k)-F(n-k-9,k-1)
şimdi ilk bikaç değeri bulup kalanları bu ilişkinin yardımıyla dolduralım
F(0,0)=1 (tanım olsun , zaten sıfırı 0 sayı kullanarak 1 şekilde yazabiliriz)
F(1,1)=1 → N(1)=1
F(2,1)=1 → N(2)=1
F(3,1)=1 , F(3,2)=1 → N(3)=2
F(4,1)=1 , F(4,2)=1 → N(4)=2
F(5,1)=1 , F(5,2)=2 → N(5)=3
F(6,1)=1 , F(6,2)=2 , F(6,3)=1 → N(6)=4
F(7,1)=1 , F(7,2)=F(5,1)+F(5,2)=3 , F(7,3)=F(4,2)+F(4,3)=1+0=1 → N(7)=5
F(8,1)=1 , F(8,2)=F(6,1)+F(6,2)=3 , F(8,3)=F(5,2)+F(5,3)=2+0=2 → N(8)=6
F(9,1)=1 , F(9,2)=F(7,1)+F(7,2)=4 , F(9,3)=F(6,2)+F(6,3)=2+1=3 → N(9)=8
F(10,1)=0 , F(10,2)=F(8,1)+F(8,2)=4 , F(10,3)=F(7,2)+F(7,3)=3+1=4 , F(10,4)=F(6,3)+F(6,4)=1+0=1 → N(10)=4+4+1=9
burdan sonraki her F(n,1)=0 yazmaya gerek yok sanırım
F(11,2)=F(9,1)-F(0,0)+F(9,2)=1+4-1=4 , F(11,3)=F(8,2)+F(8,3)=5 , F(11,4)=F(7,3)+F(7,4)=1 , N(11)=10
F(12,2)=F(10,1)+F(10,2)-F(9,1)=3 , F(12,3)=F(9,2)+F(9,3)=7 , F(12,4)=F(8,3)+F(8,4)=2 → N(12)=12
F(13,2)=3 , F(13,3)=7 , F(13,4)=F(9,3)+F(9,4)=3 → N(13)=13
F(14,2)=2 , F(14,3)=8 , F(14,4)=5 → N(14)=15
F(15,2)=2 , F(15,3)=8 , F(15,4)=6 , F(15,5)=F(10,4)+F(10,5)=1+0=1 → N(15)=17
F(16,2)=1 , F(16,3)=8 , F(16,4)=8 , F(16,5)=1 → N(16)=18
F(17,2)=1 , F(17,3)=7 , F(17,4)=9 , F(17,5)=2 → N(17)=19
F(18,2)=F(16,1)+F(16,2)-F(7,1)=0 , F(18,3)=7 , F(18,4)=11 , F(18,5)=3 → N(18)=21
buradan sonra k=2 leri yazmayız
F(19,3)=5 , F(19,4)=F(15,3)-F(6,2)+F(15,4)-F(6,3)=8-2+6-1=11 , F(19,5)=5 → N(19)=21
F(20,3)=4 , F(20,4)=12 , F(20,5)=6 → N(20)=22
F(21,3)=3 , F(21,4)=11 , F(21,5)=8 , F(21,6)=1 → N(21)=23
F(22,3)=2 , F(22,4)=11 , F(22,5)=9 , F(22,6)=1 → N(22)=23
kalanları da başta simetrik olduğunu söylemiştik
mesela N(34)=N(45-34)=N(11)=10
yani bu incelemeden de en büyüğün başta söylediğimiz gibi N(22) ve N(23) olduğunu bulduk ama N(21) ve N(24) de onlara eşitmiş en fzla 23 değişik yazım ortaya çıkabiliyomuş
tümünün toplamı
2.(1+1+1+2+2+3+4+5+6+8+9+10+12+13+15+17+18+19+21+21+22+23+23)=512 oldu
tabi 0-9 rasındakilerin tekli olarak yazılabildiğini kendimizce kabul etmiştik o 10 taneyi çıkartırız cevap 502 olur tabi işlem hatası yapmadıysak
bu kadar uzatmadan her sayı için tek tek de yzılabilirdi ama ben sistemli bi çözüm olsun istedim tabi şu 512=2
9 sayısı da orada bi garip duruyo büyük ihtimalle çok kolay bir mantıkla çözümü de vardır bu sorunun.